הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"
מתוך Math-Wiki
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף א') |
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף א') |
||
שורה 16: | שורה 16: | ||
<math>А(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta} f(t)dt</math>. | <math>А(x+\Delta x)-A(x)=\int_{x}^{x+\Delta} f(t)dt</math>. | ||
− | + | נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>. | |
לכן מתקיים<math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>. | לכן מתקיים<math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>. | ||
− | + | כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 . | |
לכן: | לכן: | ||
<math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math> נובע ש: | <math>\lim_{\Delta x \to 0}|A(x+\Delta x)-A(x)|=0</math> נובע ש: |
גרסה מ־20:54, 27 במרץ 2012
המשפט
תהי מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-. נגדיר גם: . אזי מתקיים:
א) רציפה.
ב)לכל שבו רציפה, גזירה ו- .
ג) אם רציפה בכל , ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: .
הוכחה
סעיף א'
נקח כלשהו ו- "קטן" כך ש-. לפי הגדרה: ולכן
. נתון ש-f חסומה, נגיד .
לכן מתקיים.
כעת נשאיף את , אגף ימין שואף ל-0 . לכן: נובע ש:
ולכן מתקיים תנאי הרציפות, .