הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"
מתוך Math-Wiki
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←המשפט) |
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף א') |
||
שורה 16: | שורה 16: | ||
נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>. | נתון ש-f חסומה, נגיד <math>|f(x)| \leq M </math>. | ||
− | לכן מתקיים<math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>. | + | לכן מתקיים <math>|A(x+\Delta x)-A(x)|=|\int_{x}^{x+\Delta x} f(t)dt| \leq M|\Delta x|</math>. |
כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 . | כעת נשאיף את <math>\Delta x \to 0</math>, אגף ימין שואף ל-0 . |
גרסה מ־21:03, 27 במרץ 2012
תוכן עניינים
המשפט
תהי מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-. נגדיר גם: . אזי מתקיים:
א) רציפה.
ב)לכל שבו רציפה, גזירה ו- .
ג) אם רציפה בכל , ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: .
הוכחה
סעיף א'
נקח כלשהו ו- "קטן" כך ש-. לפי הגדרה: ולכן
. נתון ש-f חסומה, נגיד .
לכן מתקיים .
כעת נשאיף את , אגף ימין שואף ל-0 . לכן:
ומכך נובע ש:
ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
.
סעיף ב'
כאן מניחים ש- רציפה בנקודה כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי קיימת ושווה ל- .