הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
||
שורה 47: | שורה 47: | ||
מכאן ש- | מכאן ש- | ||
− | <math>|\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} [f(t)-f(x_{0})]dt| | + | <math>|\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} [f(t)-f(x_{0})]dt| \leq \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} |f(t)-f(x_{0})|dt<\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt</math> |
אבל <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt=|\Delta x| \epsilon</math> ולכן | אבל <math>\int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} \epsilon dt=|\Delta x| \epsilon</math> ולכן | ||
− | <math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(t)-f(x_{0})dt| | + | <math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x} f(t)-f(x_{0})dt| < \frac{1}{|\Delta x|} \cdot \epsilon |\Delta x|=\epsilon </math>. |
ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>. | ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-<math>f(x_{0})</math>, מכאן נובע <math>A'(x_{0})=f(x_{0})</math>. |
גרסה מ־19:00, 29 במרץ 2012
תוכן עניינים
המשפט
תהי מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-. נגדיר גם: . אזי מתקיים:
א) רציפה.
ב)לכל שבו רציפה, גזירה ו- .
ג) אם רציפה בכל , ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: .
הוכחה
סעיף א'
נקח כלשהו ו- "קטן" כך ש-. לפי הגדרה: ולכן
. נתון ש-f חסומה, נגיד .
לכן מתקיים .
כעת נשאיף את , אגף ימין שואף ל-0 . לכן:
ומכך נובע ש:
ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
.
סעיף ב'
כאן מניחים ש- רציפה בנקודה כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי קיימת ושווה ל- . נחזור לפונקציה . בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר , מתקיים בהכרח:
טענה נוכיח כי .
נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: ולכן .
כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
יהי . כיוון ש-f רציפה, קיים כך שאם אז .כעת נניח , לכן לכל t כזה: כך ש-.
מכאן ש-
אבל ולכן
.
ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-, מכאן נובע .
סעיף ג'
ידוע כי רציפה על כל , ולכן ע"פ סעיף ב', פונקציה קדומה של . נתון גם כי פונקציה קדומה של , ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים עבור c כלשהו.
לכן:
ולכן בסך הכל :.