הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף א') |
(←סעיף ב') |
||
שורה 44: | שורה 44: | ||
<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math> | <math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt=0</math> | ||
− | יהי <math>\epsilon >0</math>. כיוון ש-f רציפה, קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|t-x_{0}|< \delta</math> אז <math>|f(t)-f(x_{0})|< | + | יהי <math>\epsilon >0</math>. כיוון ש-f רציפה, קיים <math>\delta >0</math> כך שאם <math>|t-x_{0}|< \delta</math> אז <math>|f(t)-f(x_{0})|< \epsilon</math>.כעת נניח <math>|\Delta x|<\delta</math>, לכן לכל t כזה: <math>|t-x_{0}| \leq |\Delta x|< \delta </math> כך ש-<math>|f(t)-f(x_{0})|< \epsilon</math>. |
מכאן ש- | מכאן ש- |
גרסה מ־00:48, 28 ביוני 2015
תוכן עניינים
המשפט
תהי מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-. נגדיר גם: . אזי מתקיים:
א) רציפה.
ב)לכל שבו רציפה, גזירה ו- .
ג) אם רציפה בכל , ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: .
הוכחה
סעיף א'
נקח כלשהו ו- "קטן" כך ש-. לפי הגדרה: ולכן
. נתון ש-f חסומה, נגיד .
לכן מתקיים .
כעת נשאיף את , אגף ימין שואף ל-0 . לכן:
ומכך נובע ש:
ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
.
סעיף ב'
כאן מניחים ש- רציפה בנקודה כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי קיימת ושווה ל- . נחזור לפונקציה . בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר , מתקיים בהכרח:
טענה נוכיח כי .
נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: ולכן .
כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
יהי . כיוון ש-f רציפה, קיים כך שאם אז .כעת נניח , לכן לכל t כזה: כך ש-.
מכאן ש-
אבל ולכן
.
ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-, מכאן נובע .
סעיף ג'
ידוע כי רציפה על כל , ולכן ע"פ סעיף ב', פונקציה קדומה של . נתון גם כי פונקציה קדומה של , ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים עבור c כלשהו.
לכן:
ולכן בסך הכל :.