הבדלים בין גרסאות בדף "הפולינום האופייני"
מתוך Math-Wiki
מ (פולינום האופייני הועבר להפולינום האופייני) |
(←קשר בין פולינום אופייני לע"ע) |
||
שורה 8: | שורה 8: | ||
==קשר בין פולינום אופייני לע"ע== | ==קשר בין פולינום אופייני לע"ע== | ||
− | התנאים הבאים שקולים: | + | כל התנאים הבאים שקולים: |
+ | |||
+ | |||
+ | *x הינו ע"ע של המטריצה A | ||
+ | לפי ההגדרה: | ||
+ | |||
+ | *קיים <math>v\neq 0</math> וגם <math>Av=xv</math> | ||
+ | מעבר אגפים: | ||
+ | |||
+ | *קיים <math>v\neq 0</math> וגם <math>Av-xv=0</math> | ||
+ | (דיסטריביוטיביות של כפל מטריצות:) | ||
+ | |||
+ | *קיים <math>v\neq 0</math> וגם <math>(A-xI)v=0</math> | ||
+ | לפי ההגדרה: | ||
+ | |||
+ | *קיים פתרון לא טריוויאלי במרחב האפס <math>N(A-xI)</math> | ||
+ | משפט מלינארית 1: | ||
+ | |||
+ | *המטריצה <math>A-xI</math> '''אינה''' הפיכה | ||
+ | משפט מלינארית 1: | ||
+ | |||
+ | *<math>|A-xI|=0</math> | ||
+ | לפי הגדרה: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
*<math>f_A(x)=0</math> | *<math>f_A(x)=0</math> | ||
− | + | ===משפט=== | |
+ | |||
+ | x הינו ע"ע של A אם"ם x הינו שורש של הפולינום האופייני של A |
גרסה מ־17:11, 22 באוקטובר 2012
הגדרה
תהי A מטריצה ריבועית, אזי הפולינום האופייני שלה מוגדר להיות:
קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה x.
קשר בין פולינום אופייני לע"ע
כל התנאים הבאים שקולים:
- x הינו ע"ע של המטריצה A
לפי ההגדרה:
- קיים וגם
מעבר אגפים:
- קיים וגם
(דיסטריביוטיביות של כפל מטריצות:)
- קיים וגם
לפי ההגדרה:
- קיים פתרון לא טריוויאלי במרחב האפס
משפט מלינארית 1:
- המטריצה אינה הפיכה
משפט מלינארית 1:
לפי הגדרה:
משפט
x הינו ע"ע של A אם"ם x הינו שורש של הפולינום האופייני של A