הבדלים בין גרסאות בדף "המספר e"
(←תכונות) |
|
(אין הבדלים)
|
גרסה מ־09:16, 4 באפריל 2012
המספר e
הוכחנו בהרצאה כי לסדרה יש גבול ממשי. אנו מגדירים את המספר e להיות גבול הסדרה הזו.
משפט. תהי סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, אזי
משפט. תהי סדרה כלשהי המתכנסת במובן הרחב לאינסוף, ותהי סדרה המתכנסת (במובן הצר, או במובן הרחב) לגבול L. אזי
תרגיל.
חשב את גבול הסדרה
פתרון. נפתח את הסדרה על מנת לקבל ביטוי מהצורה של המשפט למעלה.
כיוון ש אנו מקבלים כי
תכונות
לכל מספר טבעי n מתקיים כי:
הוכחה:
e מוגדר כגבול הסדרה השמאלית, לכן מספיק להוכיח כי היא מונוטונית עולה שכן גבול סדרה מונוטונית עולה תמיד גדול מאבריה.
כמו כן:
לכן מספיק להוכיח כי סדרה זו מונוטונית יורדת, וכך נעשה.
נסמן
רוצים להוכיח
כלומר
נפתח את אי השיוויון:
כעת נשים לב כי לפי פיתוח הבינום של ניוטון מתקיים:
לכן מספיק להוכיח כי
אבל קל לראות כי אי שיוויון זה מתקיים תמיד:
דוגמאות
תרגיל.
מצא את גבול הסדרה
לכן לפי משפט אם אזי גם .
לכן הגבול הינו: