הבדלים בין גרסאות בדף "מבחן אינפי 1 סמסטר א' מועד ב' תשע"ב"
מתוך Math-Wiki
(←סעיף א) |
(←שאלה 4) |
||
שורה 17: | שורה 17: | ||
=שאלה 4= | =שאלה 4= | ||
− | + | ||
+ | א. | ||
+ | |||
הוכיחו שאם <math>f(x)</math> מוגדרת ורציפה בכל <math>\mathbb{R}</math>, אז עבור כל | הוכיחו שאם <math>f(x)</math> מוגדרת ורציפה בכל <math>\mathbb{R}</math>, אז עבור כל | ||
<math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים <math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math>. | <math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים <math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math>. | ||
− | ' | + | ב. |
+ | |||
+ | הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל <math>x \in \mathbb{R}</math> מתקיים | ||
+ | <math>\lim_{h \to 0} [f(x+h)-f(x-h)]=0</math> ובכל זאת <math>f(x)</math> אינה רציפה בכל <math>x \in \mathbb{R}</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===פתרון=== | ||
+ | א. | ||
+ | |||
לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה <math>x_n\rightarrow x</math> מתקיים <math>f(x_n)\rightarrow f(x)</math>. | לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה <math>x_n\rightarrow x</math> מתקיים <math>f(x_n)\rightarrow f(x)</math>. | ||
לכן, לכל סדרה <math>h_n\rightarrow 0</math> מתקיים <math>x+h_n\rightarrow x</math> ולכן <math>f(x+h_n)\rightarrow f(x)</math>. באופן דומה מקבלים <math>f(x-h_n)\rightarrow x</math> וקיבלנו את הדרוש. | לכן, לכל סדרה <math>h_n\rightarrow 0</math> מתקיים <math>x+h_n\rightarrow x</math> ולכן <math>f(x+h_n)\rightarrow f(x)</math>. באופן דומה מקבלים <math>f(x-h_n)\rightarrow x</math> וקיבלנו את הדרוש. | ||
− | + | ב. | |
− | + | ||
− | + | ניקח פונקציה קבועה למעט אי רציפות סליקה אחת. כיוון שהגבול קיים וסופי בכל נקודה, ההוכחה לעיל תקיפה פרט לשימוש בגבול במקום בערך בנקודה. | |
=שאלה 5= | =שאלה 5= |
גרסה מ־20:44, 19 באפריל 2012
שאלה 1
צטטו והוכיחו את משפט ליבניץ (או משפט ליפשיץ) על התכנסות טורים בעלי סימנים מתחלפים. אין צורך לצטט ולהוכיח את הטענה לגבי השארית.
שאלה 2
קבעו אם כל גבול קיים, ואם כן חשבו אותו.
א.
ב.
שאלה 3
קבעו אם כל טור מתכנס או מתבדר:
א.
ב.
שאלה 4
א.
הוכיחו שאם מוגדרת ורציפה בכל , אז עבור כל מתקיים .
ב.
הוכיחו שההיפך של סעיף א' אינו נכון. ז.א. יתכן שלכל מתקיים ובכל זאת אינה רציפה בכל .
פתרון
א.
לפי רציפות, ולפי הגדרת היינה לגבול, לכל סדרה מתקיים .
לכן, לכל סדרה מתקיים ולכן . באופן דומה מקבלים וקיבלנו את הדרוש.
ב.
ניקח פונקציה קבועה למעט אי רציפות סליקה אחת. כיוון שהגבול קיים וסופי בכל נקודה, ההוכחה לעיל תקיפה פרט לשימוש בגבול במקום בערך בנקודה.
שאלה 5
הוכיחו שקיימים מספרים כך ש-.
שאלה 6
השתמשו בפיתוח טיילור של הפונקציה לחשב את עם טעות קטנה מ-.