הבדלים בין גרסאות בדף "אינטגרל לא מסויים/דוגמאות"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "==1== <math>\int \frac{1}{x} dx = ln|x|+c</math>") |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
==1== | ==1== | ||
<math>\int \frac{1}{x} dx = ln|x|+c</math> | <math>\int \frac{1}{x} dx = ln|x|+c</math> | ||
+ | |||
+ | ==2== | ||
+ | <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''השלמה לריבוע והצבה ראשונה:''' | ||
+ | |||
+ | הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי: | ||
+ | |||
+ | <math>x^{2}-4x-5=(x-2)^{2}-9</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: <math>u=x-2</math>, וכמובן קל להבין כי <math>dx=du</math>. | ||
+ | |||
+ | <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-9}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה):''' | ||
+ | |||
+ | ניעזר בתכונות של <math>sinh(x)</math> ושל <math>cosh(x)</math>: | ||
+ | |||
+ | <math>(cosh(x))'=sinh(x)=\int cosh(x)dx</math> | ||
+ | |||
+ | וכן בזהות: <math>cosh^{2}(x)=sinh^{2}(x)+1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''הצבה שנייה:''' | ||
+ | |||
+ | נציב: <math>u=3cosh(t)\Rightarrow du=3sinh(t)dt</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}=\int \frac{du}{\sqrt{u^{2}-9}}=\int \frac{3sinh(t)dt}{\sqrt{9cosh^{2}(t)-9}}=\int \frac{3sinh(t)dt}{3sinh(t)}=\int dt=t+constant</math> | ||
+ | |||
+ | ולהחזיר את t לx, אני משאיר לכם (: |
גרסה מ־03:41, 29 באפריל 2012
1
2
השלמה לריבוע והצבה ראשונה:
הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי:
ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: , וכמובן קל להבין כי .
פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה):
ניעזר בתכונות של ושל :
וכן בזהות:
הצבה שנייה:
נציב:
ולהחזיר את t לx, אני משאיר לכם (: