הבדלים בין גרסאות בדף "אינטגרל לא מסויים/דוגמאות"
מתוך Math-Wiki
(←3) |
|||
שורה 3: | שורה 3: | ||
==2== | ==2== | ||
+ | |||
<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}</math> | <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-5}}</math> | ||
+ | ===פתרון=== | ||
'''השלמה לריבוע והצבה ראשונה:''' | '''השלמה לריבוע והצבה ראשונה:''' | ||
שורה 38: | שורה 40: | ||
האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה) | האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה) | ||
+ | <math>\int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx</math> | ||
+ | |||
+ | ===פתרון=== | ||
<math>\int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx=\begin{Bmatrix} | <math>\int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx=\begin{Bmatrix} | ||
t=tanx\\ | t=tanx\\ | ||
שורה 50: | שורה 55: | ||
<math>\int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx | <math>\int \frac{sin^{2}(x)}{cos^{6}(x)}dx | ||
=\int \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}+1}}{\frac{1}{(t^2+1)^{2}}}dt=\int t^{2}(t^{2}+1)dt=\cdots =\frac{t^{5}}{5}+\frac{t^{3}}{3}+c</math> | =\int \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}+1}}{\frac{1}{(t^2+1)^{2}}}dt=\int t^{2}(t^{2}+1)dt=\cdots =\frac{t^{5}}{5}+\frac{t^{3}}{3}+c</math> | ||
+ | |||
+ | ==4== | ||
+ | |||
+ | בדומה לאינטגרל הקודם, לקוח מבועז צבאן (1.27) | ||
+ | |||
+ | <math>\int \sqrt{2-x-x^{2}}dx</math> | ||
+ | |||
+ | ===דרך א'=== | ||
+ | |||
+ | '''א.''' ניתן להשתמש בהצבת אויילר, אבל אנחנו ננקוט בטקטיקה שונה. | ||
+ | |||
+ | <math>\int \sqrt{2-x-x^{2}}dx=\int \sqrt{1.5^{2}-(x+0.5)^{2}}dx=\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | הצבה ראשונה: <math>u=x+0.5\Rightarrow dx=du</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | הצבה שנייה: <math>u=1.5sint\Rightarrow du=1.5costdt</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ואם נחזור לחישוב האינטגרל, | ||
+ | |||
+ | <math>\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=\int 1.5\sqrt{1-sin^{2}(t)} \cdot 1.5cos(t)dt=2.25\int cos^{2}(t)dt=2.25\int\frac{cos2t-1}{2}dt=2.25(\frac{sin2t}{4}-\frac{t}{2})+c </math> | ||
+ | |||
+ | ומכאן מעבירים את t לx. | ||
+ | |||
+ | ===דרך ב'=== | ||
+ | |||
+ | ההצבה הראשונה נשארת כפי שהייתה, אך הפעם לא נעשה הצבה שניה אלא נשתמש באינטגרציה בחלקים: | ||
+ | |||
+ | <math>\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=\int (u)'\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+\int \frac{u^{2}du}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | כעת נוכל להבחין כי מתקיים: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>\int \frac{u^{2}du}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}=\int \frac{u^{2}-1.5^{2}+1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du=\int\frac{1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du-\int\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | כעת נביט רק על האינטגרל הראשון ונציב: <math>1.5v=u</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\int\frac{1.5^{2}}{\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}}du=1.5^{2}\int \frac{1.5dv}{1.5\sqrt{1-v^{2}}}=1.5^{2}arcsin(v)=2.25arcsin(\frac{2u}{3}) </math> | ||
+ | |||
+ | אם נחזור לאינטגרל המקורי נקבל: | ||
+ | |||
+ | <math>\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+2.25arcsin(\frac{2u}{3})-\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du </math> | ||
+ | |||
+ | <math>2\int \sqrt{1.5^{2}-u^{2}}du=u\sqrt{1.5^{2}-u^{2}}+2.25arcsin(\frac{2u}{3})</math> | ||
+ | |||
+ | וסיימנו (: |
גרסה מ־07:39, 29 באפריל 2012
תוכן עניינים
1
2
פתרון
השלמה לריבוע והצבה ראשונה:
הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי:
ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: , וכמובן קל להבין כי .
פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה):
ניעזר בתכונות של ושל :
וכן בזהות:
הצבה שנייה:
נציב:
ולהחזיר את t לx, אני משאיר לכם (:
3
האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה)
פתרון
4
בדומה לאינטגרל הקודם, לקוח מבועז צבאן (1.27)
דרך א'
א. ניתן להשתמש בהצבת אויילר, אבל אנחנו ננקוט בטקטיקה שונה.
הצבה ראשונה:
הצבה שנייה:
ואם נחזור לחישוב האינטגרל,
ומכאן מעבירים את t לx.
דרך ב'
ההצבה הראשונה נשארת כפי שהייתה, אך הפעם לא נעשה הצבה שניה אלא נשתמש באינטגרציה בחלקים:
כעת נוכל להבחין כי מתקיים:
כעת נביט רק על האינטגרל הראשון ונציב:
אם נחזור לאינטגרל המקורי נקבל:
וסיימנו (: