הבדלים בין גרסאות בדף "אינטגרל לא מסויים/דוגמאות"
(←פתרון) |
|||
שורה 128: | שורה 128: | ||
<math>\int \frac{dx}{x+\sqrt [n]{x}}=\frac{n}{n-1}\int \frac{dk}{k}=\frac{n}{n-1}ln|k|+c= \frac{n}{n-1}ln|x^{\frac {n-1}{n}}+1|+c</math> | <math>\int \frac{dx}{x+\sqrt [n]{x}}=\frac{n}{n-1}\int \frac{dk}{k}=\frac{n}{n-1}ln|k|+c= \frac{n}{n-1}ln|x^{\frac {n-1}{n}}+1|+c</math> | ||
+ | |||
+ | ==6== | ||
+ | |||
+ | <math>\int \frac{arctan(e^{x})}{e^{x}}dx</math> | ||
+ | |||
+ | ===פתרון=== | ||
+ | |||
+ | ניעזר באינטגרציה בחלקים. | ||
+ | |||
+ | <math>\int \frac{arctan(e^{x})}{e^{x}}dx=\int arctan(e^{x})e^{-x}dx=\begin{Bmatrix} | ||
+ | du=e^{-x}dx\Rightarrow u=-e^{-x}\\ | ||
+ | v=arctan(e^{x})\Rightarrow dv=\frac{e^{x}dx}{1+e^{2x}} | ||
+ | \end{Bmatrix} | ||
+ | =-e^{-x}arctan(e^{x})+\int\frac{dx}{1+e^{2x}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר: | ||
+ | |||
+ | <math>\int\frac{dx}{1+e^{2x}}=\begin{Bmatrix} | ||
+ | t=e^{2x}\\ | ||
+ | dt=2tdx | ||
+ | \end{Bmatrix}= | ||
+ | \int \frac{dt}{2t(1+t)}=\int \frac{dt}{2t}-\int \frac{dt}{2t+2}=ln|2t|-ln|2t+2|+c=ln(2e^{2x})-ln(2e^{2x}+2)+c</math> | ||
+ | |||
+ | כל שנותר הוא לאחד את התוצאות, ולקבל את התוצאה הסופית. |
גרסה מ־11:22, 29 באפריל 2012
1
2
פתרון
השלמה לריבוע והצבה ראשונה:
הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי:
ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: , וכמובן קל להבין כי .
פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה):
ניעזר בתכונות של ושל :
וכן בזהות:
הצבה שנייה:
נציב:
ולהחזיר את t לx, אני משאיר לכם (:
3
האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה)
פתרון
4
בדומה לאינטגרל הקודם, לקוח מבועז צבאן (1.27)
דרך א'
א. ניתן להשתמש בהצבת אויילר, אבל אנחנו ננקוט בטקטיקה שונה.
הצבה ראשונה:
הצבה שנייה:
ואם נחזור לחישוב האינטגרל,
ומכאן מעבירים את t לx.
דרך ב'
ההצבה הראשונה נשארת כפי שהייתה, אך הפעם לא נעשה הצבה שניה אלא נשתמש באינטגרציה בחלקים:
כעת נוכל להבחין כי מתקיים:
כעת נביט רק על האינטגרל הראשון ונציב:
אם נחזור לאינטגרל המקורי נקבל:
וסיימנו (:
5
אינטגרל חביב שנלקח ממבחן בחדו"א בב"ג (של מדעי המחשב)
כאשר .
פתרון
הכוונה היא עבור n>1, עבור n=1 תסתכלו בדוגמא הראשונה.
6
פתרון
ניעזר באינטגרציה בחלקים.
פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר:
כל שנותר הוא לאחד את התוצאות, ולקבל את התוצאה הסופית.