הבדלים בין גרסאות בדף "אינטגרל לא מסויים/דוגמאות"
(←פתרון) |
|||
שורה 153: | שורה 153: | ||
כל שנותר הוא לאחד את התוצאות, ולקבל את התוצאה הסופית. | כל שנותר הוא לאחד את התוצאות, ולקבל את התוצאה הסופית. | ||
+ | |||
+ | ==7== | ||
+ | |||
+ | <math>\int \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x}dx</math> | ||
+ | |||
+ | ===פתרון=== | ||
+ | |||
+ | נעשה את ההצבה הבאה: <math>x=\frac{4}{cosu}\Rightarrow | ||
+ | dx=\frac{4sinu}{cos^{2}u}du</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\int \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x}dx=\int \frac{\sqrt{\frac{16}{cos^{2}u}-16}}{\frac{4}{cosu}}\cdot \frac{4sinu}{cos^{2}u}du=\int 4tan^{2}udu=\int (4tan^{2}+4-4)udu=4tanu-4u+c</math> | ||
+ | |||
+ | תחזירו לx לבד, בכל מקרה אני עצלן ואף אחד לא יקרא את זה! |
גרסה מ־17:19, 29 באפריל 2012
תוכן עניינים
1
2
פתרון
השלמה לריבוע והצבה ראשונה:
הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי:
ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: , וכמובן קל להבין כי .
פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה):
ניעזר בתכונות של ושל :
וכן בזהות:
הצבה שנייה:
נציב:
ולהחזיר את t לx, אני משאיר לכם (:
3
האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה)
פתרון
4
בדומה לאינטגרל הקודם, לקוח מבועז צבאן (1.27)
דרך א'
א. ניתן להשתמש בהצבת אויילר, אבל אנחנו ננקוט בטקטיקה שונה.
הצבה ראשונה:
הצבה שנייה:
ואם נחזור לחישוב האינטגרל,
ומכאן מעבירים את t לx.
דרך ב'
ההצבה הראשונה נשארת כפי שהייתה, אך הפעם לא נעשה הצבה שניה אלא נשתמש באינטגרציה בחלקים:
כעת נוכל להבחין כי מתקיים:
כעת נביט רק על האינטגרל הראשון ונציב:
אם נחזור לאינטגרל המקורי נקבל:
וסיימנו (:
5
אינטגרל חביב שנלקח ממבחן בחדו"א בב"ג (של מדעי המחשב)
כאשר .
פתרון
הכוונה היא עבור n>1, עבור n=1 תסתכלו בדוגמא הראשונה.
6
פתרון
ניעזר באינטגרציה בחלקים.
פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר:
כל שנותר הוא לאחד את התוצאות, ולקבל את התוצאה הסופית.
7
פתרון
נעשה את ההצבה הבאה:
תחזירו לx לבד, בכל מקרה אני עצלן ואף אחד לא יקרא את זה!