הבדלים בין גרסאות בדף "אינטגרל לא מסויים/דוגמאות"
(←10) |
|||
שורה 203: | שורה 203: | ||
כרגיל להחזיר ולהנות (: | כרגיל להחזיר ולהנות (: | ||
− | == | + | ==10== |
<math>\int x^2\sqrt{a^2-x^2}dx</math> | <math>\int x^2\sqrt{a^2-x^2}dx</math> | ||
הצבה <math>x=sin(t)</math> | הצבה <math>x=sin(t)</math> | ||
− | == | + | ==11== |
<math>\int x^2\sqrt{a^2+x^2}dx</math> | <math>\int x^2\sqrt{a^2+x^2}dx</math> | ||
שורה 214: | שורה 214: | ||
[http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function נוסחאות לפונקציות היפרבוליות] | [http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function נוסחאות לפונקציות היפרבוליות] | ||
+ | |||
+ | ==12== | ||
+ | <math>\int \frac{sinx\cdot cosx}{\sqrt{asin^{2}x+bcos^{2}x}}dx</math> | ||
+ | |||
+ | ===פתרון=== | ||
+ | |||
+ | <math>\int \frac{sinx\cdot cosx}{\sqrt{asin^{2}x+bcos^{2}x}}dx=\int\frac{sinx\cdot cosx}{\sqrt{(a-b)sin^{2}x+b}}dx=\begin{Bmatrix} | ||
+ | t=sinx\\ | ||
+ | dt=cosxdx | ||
+ | \end{Bmatrix}= | ||
+ | \int \frac{tdt}{\sqrt{(a-b)t^{2}+b}}=\begin{Bmatrix} | ||
+ | u=(a-b)t^{2}+b\\ | ||
+ | du=2(a-b)tdt | ||
+ | \end{Bmatrix}= </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>\frac{1}{2a-2b}\int\frac{du}{\sqrt{u}}=\frac{1}{a-b}\sqrt{u}+c=\frac{1}{a-b}\sqrt{(a-b)t^{2}+b}+c=\frac{1}{a-b}\sqrt{(a-b)sin^{2}x+b}+c</math> |
גרסה מ־09:53, 30 באפריל 2012
תוכן עניינים
1
2
פתרון
השלמה לריבוע והצבה ראשונה:
הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי:
ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: , וכמובן קל להבין כי .
פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה):
ניעזר בתכונות של ושל :
וכן בזהות:
הצבה שנייה:
נציב:
ולהחזיר את t לx, אני משאיר לכם (:
3
האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה)
פתרון
4
בדומה לאינטגרל הקודם, לקוח מבועז צבאן (1.27)
דרך א'
א. ניתן להשתמש בהצבת אוילר, אבל אנחנו ננקוט בטקטיקה שונה.
הצבה ראשונה:
הצבה שנייה:
ואם נחזור לחישוב האינטגרל,
ומכאן מעבירים את t לx.
דרך ב'
ההצבה הראשונה נשארת כפי שהייתה, אך הפעם לא נעשה הצבה שניה אלא נשתמש באינטגרציה בחלקים:
כעת נוכל להבחין כי מתקיים:
כעת נביט רק על האינטגרל הראשון ונציב:
אם נחזור לאינטגרל המקורי נקבל:
וסיימנו (:
5
אינטגרל חביב שנלקח ממבחן בחדו"א בב"ג (של מדעי המחשב)
כאשר .
פתרון
הכוונה היא עבור n>1, עבור n=1 תסתכלו בדוגמא הראשונה.
6
פתרון
ניעזר באינטגרציה בחלקים.
פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר:
כל שנותר הוא לאחד את התוצאות, ולקבל את התוצאה הסופית.
7
פתרון
נעשה את ההצבה הבאה:
תחזירו לx לבד, בכל מקרה אני עצלן ואף אחד לא יקרא את זה!
8
אחד קליל מהחוברת של בועז (:,
פתרון
9
פתרון
ראשית נפעיל אינטגרציה בחלקים כאשר:
כעת נחשב את האינטגרל השני שקיבלנו:
וכעת ניעזר בהצבה האוניברסלית כדי למצוא את האינטגרל החדש:
כרגיל להחזיר ולהנות (:
10
הצבה
11
הצבה היפרבולית .
12
פתרון