הבדלים בין גרסאות בדף "אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית"
מתוך Math-Wiki
(←מצב שני deg(p)) |
(←מצב רביעי deg(p)>deg(q)) |
||
שורה 92: | שורה 92: | ||
*נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני. | *נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני. | ||
+ | |||
+ | ==מצב חמישי== | ||
+ | |||
+ | <math>\int {\frac{q'}{q^m}}</math> מבצעים את ההצבה <math>t=q(x)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | =דוגמאות= | ||
+ | |||
+ | ===דוגמא 1=== | ||
+ | |||
+ | ::<math>\int{\frac{x^7}{(1-x^4)^2}}dx</math> | ||
+ | |||
+ | בדוגמא זו '''ניתן''' להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה <math>t=1-x^4</math> ולקבל | ||
+ | |||
+ | ::<math>\int{\frac{x^7}{(1-x^4)^2}}dx=\int{\frac{1-t}{-4t^2}}dt</math> |
גרסה מ־09:01, 13 במרץ 2013
תוכן עניינים
אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
תהי פונקציה מהצורה כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב .
עובדה. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סגור ממשית. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).
מצב ראשון
ניתן למצוא קבוע c כך ש כך ש.
אז רושמים
וממשיכים לשלב הבא:
מצב שני
- נפרק את q לגורמים אי פריקים:
- כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
- נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים .
- נחשב כל מחובר בנפרד:
אינטגרל מהצורה
נבצע הצבה על מנת לקבל:
אינטגרל מהצורה (כאשר המכנה אי פריק)
- נבצע השלמה לריבוע על מנת לקבל את האינטגרל
- כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה
- נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
אינטגרל מהצורה (כאשר המכנה אי פריק)
- דבר ראשון, בדומה למצב הראשון,נצמצם את הבעייה לאינטגרל מהצורה
- את החלק פותרים לפי הנוסחא לעיל
- לחלק הנותר נבצע הצבה לקבל אינטגרל פתיר מהצורה
מצב שלישי
- קיים קבוע c כך שקיים פולינום h המקיים וגם .
- נפריד את האינטגרל לשניים
- נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.
מצב רביעי
- נבצע חלוקת פולינומים על מנת לקבל את הנוסחא כאשר מתקיים
- מתקיים
- נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.
מצב חמישי
מבצעים את ההצבה
דוגמאות
דוגמא 1
בדוגמא זו ניתן להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה ולקבל