הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/תרגולים/2.8.12"
(יצירת דף עם התוכן "נרצה לבדוק מתי <math>\mathbb c^2\ni f(x,y)=g(x)h(g(x))</math>. מובן ש־<math>f_x'=g'(x)h(g(x)),f_y'=g(x)h'(y),f_{xy}''=g'(x)h'(y)</math>. תנאי ...") |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | נרצה לבדוק מתי <math> | + | נרצה לבדוק מתי <math>C^2\ni f(x,y)=g(x)h(y)</math>. מובן ש־<math>f_x'=g'(x)h(y),f_y'=g(x)h'(y),f_{xy}''=g'(x)h'(y)</math>. תנאי הכרחי לפרידות: <math>f\cdot f_{xy}''=f_x'\cdot f_y'</math>. |
=== תרגיל ממבחן === | === תרגיל ממבחן === |
גרסה אחרונה מ־15:40, 2 באוגוסט 2012
נרצה לבדוק מתי . מובן ש־. תנאי הכרחי לפרידות: .
תוכן עניינים
תרגיל ממבחן
מועד א תש״ע, ד״ר ראובן כהן, שאלה 7
נתונה המשוואה .
- מצאו פתרונות סינגולריים ורגולרים.
- מצא כל פתרונות המשוואה עבור תנאי ההתחלה .
פתרון
- נוציא גורם משותף: . שתי אפשרויות: או . במד״ר השנייה, נבדוק אם מדוייקת: , כלומר אינה מדוייקת. תלוי בשני המשתנים, בעוד ש־, ולכן נחפש גורם אינטגרציה מהצורה . נרצה ש־ ולכן , כלומר , אזי , לבסוף . נכפול זאת במד״ר ונקבל . נחפש פוקנציית פוטנציאל : עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \patrtial לא מוכרת): \frac{\patrtial U}{\partial x}=2xy-3x^2\\\frac{\partial U}{\partial y}=x^2
. נחשב ונמצא , נגזור לפי ואז ולכן . נקח ואז , עקומת הרמה היא , כלומר . לסיכום, הפתרונות הם רגולרי ו־ סינגולרי.
- נדרוש תנאי התחלה . פתרון אחד הוא , וגם הפתרון עונה על הבעיה.
משוואות ריקטי
, פולינום ריבועי ב־. אין נוסחה לפתרון כללי, אך אם הזגנו פתרון פרטי אזי ההצבה תביא אותנו למשוואות ברנולי עבור .
תרגיל ממבחן
לוזון
פתרו .
פתרון
נשים לב שזו משוואת ריקטי עם . קל לראות כי פתרון. לכן נפתור , כלומר . נציב במד״ר המקורית ונגלה ש־. עתה ונסיק . אזי , נחזור ל־: . הערה: קודם הנחנו ש־. ניתן להגיע אליו ע״י בפתרון הרגולרי.
מד״ר מסדר גבוה
. נצפה ל־ קבועים חופשיים .
מקרה: אינטגרציה נשנית/חוזרת: . תרגיל: אזי , לכן ולבסוף .
מד״ר מסדר 2
.
מקרים מיוחדים
-
חסר , . מציבים ואז , והמד״ר הוא מסדר ראשון.
תרגיל
פתרו את בעיית קושי .
פתרון
חסר, לכן נציב ונקבל . נעביר לצורה , נחלק ב־ ונקבל . הפתרון הוא . נפעיל אינטגרציה לפי ונמצא ש־. נדרוש את קיום תנאי ההתחלה: . לסיכום, הפתרון הוא .
חסר , . נציב ואז . המד״ר נהיית .
תרגיל ממבחן
מועד א תש״ע, ד״ר ראובן כהן, שאלה 4
פתרו .
פתרון
זו מד״ר מסדר 2 ו־ אינו מופיע בה. נציב והמד״ר היא . קיימים הפתרונות , אחרת . מכאן ש־, לכן . נעביר אגפים ונקבל . לפיכן . נציב בחזרה את : ואז . נציב , אזי ונקבל . עתה .
דרך נוספת: . נשים לב ש־ והמד״ר היא . עתה , מאינטגרציה נקבל . אינטגרציה חוזרת: ואז לכן .
מערכת של מד״ר מסדר ראשון
. עדיין יש משתנה בלתי תלוי אחד , אך מכיל משתנים תלויים בו. אלו פונקציות לא ידועות שיש למצוא.
תרגיל
הוכיחו שהפוקנציה הווקטורית עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \vec
………
פתרון
נציב במערכת ואז כדרוש וכן , שוב כדרוש.
משפט
כל מד״ר מסדר ניתן להביא למערכת של מד״ר מסדר ראשון.
תרגיל
הבא את בעיית קושי (מסדר 2) לצורה של מערכת של שתי מד״ר מסדר ראשון. .
פתרון
נגדיר שני משתנים חדשים ו־. אזי . המד״ר היא ולכן . בצורה מטריציונית: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{pmatrix}'=\begin{pmatrix}0&1\\-\frac12&\frac52\end{pmatrix}\begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{cases} . תנאי ההתחלה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \begin{pmatrix}z_1\\z_2\end{cases}(\pi)=\begin{pmatrix}1\\\sqrt2\end{cases}
.