הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"
מתוך Math-Wiki
מ |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
== משפטים חשובים == | == משפטים חשובים == | ||
− | * '''משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית:''' תהי <math>\vec f(x,\vec y)</math> פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־<math>\vec y</math> בתיבה <math>B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_{0,k}-b_k,y_{0,k}+b_k]</math>, ונתונים תנאי ההתחלה <math>\vec y(x_0)=\vec y_0</math>. אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע <math>|x-x_0|<\min\left(\{a\}\cup\left\{\frac{b_k}{\displaystyle\max_{(x,\vec y)\in B}|f_k(x,\vec y)|}:k\in\{1,\dots,n\}\right\}\right)</math>. | + | * '''משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית:''' תהי <math>\vec f(x,\vec y)</math> פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־<math>\vec y</math> בתיבה <math>B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_{0,k}-b_k,y_{0,k}+b_k]</math>, ונתונים תנאי ההתחלה <math>\vec y(x_0)=\vec y_0</math>. אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע <math>|x-x_0|<\min\!\left(\{a\}\cup\left\{\frac{b_k}{\displaystyle\max_{(x,\vec y)\in B}|f_k(x,\vec y)|}:k\in\{1,\dots,n\}\right\}\right)</math>. |
− | * כל מד״ר מסדר <math>n</math> שקולה למערכת של <math>n</math> מד״ר מסדר 1: <math>F\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0\iff\begin{cases}y_1=y'\\y_2=y_1'\\\vdots\\y_{n-1}=y_{n-2}'\\F(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{n-1},y_{n-1}')=0\end{cases}</math>. כמו כן, המערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית. | + | * כל מד״ר מסדר <math>n</math> שקולה למערכת של <math>n</math> מד״ר מסדר 1: <math>F\!\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0\iff\begin{cases}y_1=y'\\y_2=y_1'\\\vdots\\y_{n-1}=y_{n-2}'\\F\!\left(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{n-1},y_{n-1}'\right)=0\end{cases}</math>. כמו כן, המערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית. |
== שיטות לפתרון מד״ר == | == שיטות לפתרון מד״ר == | ||
=== מד״ר מסדר 1 === | === מד״ר מסדר 1 === | ||
− | * מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה <math>M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm | + | * מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה <math>M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0</math>. אם <math>\exists y_0:\ N_1(y_0)=0</math> אזי <math>y\equiv y_0</math> פתרון, ואם <math>\exists x_0:\ M_2(x_0)=0</math> אזי <math>x\equiv x_0</math> פתרון. אחרת <math>\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=0</math>. |
* נתונה מד״ר <math>y'=f(ax+by)</math>. אז נציב <math>z=ax+by</math> ו־<math>y'=\frac{z'-a}b</math>. | * נתונה מד״ר <math>y'=f(ax+by)</math>. אז נציב <math>z=ax+by</math> ו־<math>y'=\frac{z'-a}b</math>. | ||
− | ** {{הערה|הכללה:}} נתונה מד״ר <math>y'=f\left(\frac{Ax+By+C}{ax+by+c}\right)</math> . אם <math>\begin{vmatrix}A&B\\a&b\end{vmatrix}\ne0</math> נציב <math>\begin{cases}x=p+\alpha\\y=q+\beta\end{cases}</math> כאשר <math>\begin{pmatrix}A&B\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}C\\c\end{pmatrix}</math>. אחרת נבחר <math>\lambda=\frac Aa=\frac Bb</math> ונציב <math>z=ax+by</math>. | + | ** {{הערה|הכללה:}} נתונה מד״ר <math>y'=f\!\left(\frac{Ax+By+C}{ax+by+c}\right)</math> . אם <math>\begin{vmatrix}A&B\\a&b\end{vmatrix}\ne0</math> נציב <math>\begin{cases}x=p+\alpha\\y=q+\beta\end{cases}</math> כאשר <math>\begin{pmatrix}A&B\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}C\\c\end{pmatrix}</math> ונקבל <math>q_p'=g\!\left(\frac qp\right)</math>. אחרת נבחר <math>\lambda=\frac Aa=\frac Bb</math> ונציב <math>z=ax+by</math>. |
− | * '''מד״ר הומוגנית:''' נתונה מד״ר <math>y'=f\left(\frac yx\right)</math>. אזי נציב <math>z=\frac yx</math> ו־<math>y'=z'x+z</math>. | + | * '''מד״ר הומוגנית:''' נתונה מד״ר <math>y'=f\!\left(\frac yx\right)</math>. אזי נציב <math>z=\frac yx</math> ו־<math>y'=z'x+z</math>. |
− | * '''מד״ר לינארית:''' נתונה מד״ר <math>y'+p(x)y=q(x)</math>. אם היא לינארית־הומוגנית אזי <math>y= | + | * '''מד״ר לינארית:''' נתונה מד״ר <math>y'+p(x)y=q(x)</math>. אם היא לינארית־הומוגנית אזי <math>y=\mathrm e^{-\int p(x)\mathrm dx}</math>, ובכל מקרה <math>y=\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int q(x)\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx</math>. |
* '''משוואת ברנולי:''' נתונה מד״ר <math>y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\ne0,1</math>. נציב <math>z=y^{1-n}</math>, כאשר אם <math>n>1</math> אז <math>y\equiv0</math> פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־<math>\pm\infty</math>), אם <math>0<n<1</math> אז פתרון סינגולרי, ואם <math>n<0</math> אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים: <math>y=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{-(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx}</math>. | * '''משוואת ברנולי:''' נתונה מד״ר <math>y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\ne0,1</math>. נציב <math>z=y^{1-n}</math>, כאשר אם <math>n>1</math> אז <math>y\equiv0</math> פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־<math>\pm\infty</math>), אם <math>0<n<1</math> אז פתרון סינגולרי, ואם <math>n<0</math> אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים: <math>y=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{-(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx}</math>. | ||
* מד״ר מהצורה <math>P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=0</math> היא מדויקת אם״ם יש <math>U</math> כך ש־<math>\mathrm dU</math> שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם <math>\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}</math>. | * מד״ר מהצורה <math>P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=0</math> היא מדויקת אם״ם יש <math>U</math> כך ש־<math>\mathrm dU</math> שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם <math>\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}</math>. | ||
** אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־<math>\mu</math> כך שתהפוך למדויקת. <math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>x</math> אם״ם <math>a=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}Q</math> תלויה רק ב־<math>x</math>, ואז <math>\mu(x)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int a\mathrm dx}</math>. היא תלויה רק ב־<math>y</math> אם״ם <math>b=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P</math> תלויה רק ב־<math>y</math>, ואז <math>\mu(y)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int b\mathrm dy}</math>. | ** אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־<math>\mu</math> כך שתהפוך למדויקת. <math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>x</math> אם״ם <math>a=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}Q</math> תלויה רק ב־<math>x</math>, ואז <math>\mu(x)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int a\mathrm dx}</math>. היא תלויה רק ב־<math>y</math> אם״ם <math>b=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P</math> תלויה רק ב־<math>y</math>, ואז <math>\mu(y)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int b\mathrm dy}</math>. | ||
− | * '''משוואת ריקרטי:''' מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)}</math>. אם <math>y(x) | + | * '''משוואת ריקרטי:''' מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)}</math>. אם <math>y(x)\equiv y_p(x)</math> פתרון אזי <math>y(x)=y_p(x)+\left(\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\int\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\mathrm dx\right)^{-1}</math> הפתרון הכללי. |
* נתונה מד״ר <math>\sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0</math> ממעלה <math>n</math>. אזי קיימות פונקציות <math>f_k</math> שעבורן <math>\prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0</math>. | * נתונה מד״ר <math>\sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0</math> ממעלה <math>n</math>. אזי קיימות פונקציות <math>f_k</math> שעבורן <math>\prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0</math>. | ||
* אם <math>F(y,y')=0</math> נציב <math>z=y'</math> ואז <math>x=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz</math>. בנוסף, אם <math>y=\varphi(t)</math> ו־<math>z=\psi(t)</math> אזי <math>x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt</math>. | * אם <math>F(y,y')=0</math> נציב <math>z=y'</math> ואז <math>x=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz</math>. בנוסף, אם <math>y=\varphi(t)</math> ו־<math>z=\psi(t)</math> אזי <math>x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt</math>. |
גרסה מ־17:40, 3 באוקטובר 2012
תוכן עניינים
משפטים חשובים
- משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית: תהי פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־ בתיבה , ונתונים תנאי ההתחלה . אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע .
- כל מד״ר מסדר שקולה למערכת של מד״ר מסדר 1: . כמו כן, המערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית.
שיטות לפתרון מד״ר
מד״ר מסדר 1
- מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה . אם אזי פתרון, ואם אזי פתרון. אחרת .
- נתונה מד״ר . אז נציב ו־.
- הכללה: נתונה מד״ר . אם נציב כאשר ונקבל . אחרת נבחר ונציב .
- מד״ר הומוגנית: נתונה מד״ר . אזי נציב ו־.
- מד״ר לינארית: נתונה מד״ר . אם היא לינארית־הומוגנית אזי , ובכל מקרה .
- משוואת ברנולי: נתונה מד״ר . נציב , כאשר אם אז פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־), אם אז פתרון סינגולרי, ואם אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים: .
- מד״ר מהצורה היא מדויקת אם״ם יש כך ש־ שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם .
- אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־ כך שתהפוך למדויקת. תלויה רק ב־ אם״ם תלויה רק ב־, ואז . היא תלויה רק ב־ אם״ם תלויה רק ב־, ואז .
- משוואת ריקרטי: מד״ר מהצורה . הפתרון הכללי הוא מהצורה . אם פתרון אזי הפתרון הכללי.
- נתונה מד״ר ממעלה . אזי קיימות פונקציות שעבורן .
- אם נציב ואז . בנוסף, אם ו־ אזי .
- אם נציב ואז . בנוסף, אם ו־ אזי .
- שיטת פיקארד: נתונה בעיית ההתחלה . נבחר פונקציה שעבורה , וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת . במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים) היא פתרון של הבעיה.
- משוואת קלרו: נתונה המד״ר . אזי או (כאשר ) .
- משוואת לגראנז׳: נתונה המד״ר עבור . נציב ואז . לפיכך מקיים או (מקרה זה יש לבדוק בנפרד), ו־ מקיים .
מד״ר מסדר 2
- בהנתן מד״ר או נציב ונקבל או , בהתאמה. מתקיים ו־.
מד״ר מכל סדר
מד״ר לינארית
בפרק זה, אלא אם צוין אחרת, המד״ר היא .
- אם המד״ר לינארית־הומוגנית אז מרחב הפתרונות שלה הוא מרחב וקטורי.
- אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות מימדי.
- ורונסקיאן: עבור קבוצת פונקציות מגדירים .
- אם ת״ל אזי .
- אם פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום וכן אזי הם ת״ל.
- משפט ליוביל: אם פתרונות בת״ל של המד״ר והיא הומוגנית אזי .
- הפתרון הכללי של המד״ר הוא , כאשר הפתרון הכללי של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־ פתרון פרטי כלשהו של המד״ר.
- וריאציית הפרמטרים: נתונים פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא כאשר . באופן שקול: , כאשר .
- נניח שהמד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב , ולכן וגם (זה הפולינום האופייני של המשוואה) שווה ל־0. אם השורשים השונים זה מזה הם והריבויים שלהם בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא . אם אינו ממשי ניתן לכתוב ואז, כיוון ש־ שורש עם אותו ריבוי, נציב .
- שיטת הניחוש/הבחירה/המקדמים הנעלמים: נניח שהמד״ר לינארית עם מקדמים קבועים וכן , כאשר קבועה (יכולה להיות גם 0), והריבוי של בפולינום האופייני הוא (במידה ו־ לא שורש נאמר ). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה כאשר . הערה: אם נוכל לפתור עבור בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים.
- משוואת אוילר(־לגראנג׳) היא מד״ר לינארית מהצורה עם . מציבים במד״ר ההומוגנית ואז . נקבל משוואה לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים, וניתן להמשיך לפתור אותה באופן זה. לחלופין, אנו לומדים מכך שאפשר להציב במד״ר ההומוגנית ולקבל (משוואה אינדיציאלית). אם השורשים השונים זה מזה הם והריבויים שלהם בהתאמה אזי הפתרון ההומוגני הכללי הוא . אם אינו ממשי ניתן לכתוב ואז, כיוון ש־ שורש עם אותו ריבוי, נציב .
- אם כאשר קבועה (יכולה להיות גם 0), והריבוי של במשוואה האינדיציאלית הוא (אם לא שורש ). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה כאשר .
פתרון מד״ר באמצעות טורי חזקות
- נתונה מד״ר מהצורה כאשר ותהי . אם וכל המקדמים אנליטיים סביב עם רדיוס התכנסות או יותר אזי קיים פתרון אנליטי סביב של המד״ר עם רדיוס התכנסות או יותר.
- טור פרוביניוס הוא טור מהצורה .
- בהנתן נחלק ב־. תהי נקודה סינגולרית של . אם קיימים הגבולות הנקודה נקראת סינגולרית־רגולרית. בקרבת נקבל . לפי משפט, אם נקודה סינגולרית־רגולרית אזי קיים פתרון אנליטי למד״ר סביב בצורת בצורת טור פרוביניוס. לכן נפתור עבור , נציב ונקבל את הפתרונות בצורת טורים של המד״ר עם (אם פתרונות הפולינום האופייני של המד״ר עם הם אז פתרון פרטי). נציב פתרונות אלו במד״ר המקורית ונקבל את מקדמי הטורים.
הערה: נאמר ש־ אם . לעתים כותבים "" לציון איבר הנמצא בקבוצה זו, ולא הקבוצה עצמה.
- משוואת בסל: . מתקיים ולכן , כלומר סיגולריות־רגולרית.
- פונציית גמא: . היא מקיימת וגם .
- משוואת אוילר: .