הבדלים בין גרסאות בדף "88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 1"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "== שאלה 1 == לכל קבוצה <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> ומספרים <math>a,b \in \mathbb{R}</math> מגדירים <math>aE+b:=\{ a x+b:x \in E \}...")
 
שורה 20: שורה 20:
  
 
ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.
 
ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.
−
 
−
== שאלה 4 ==
 
−
 
−
הראו שלכל קטע (לא טריוויאלי) יש תת קבוצה לא מדידה. (רמז: תרגיל 1)
 
−
 
  
  
 
בהצלחה!
 
בהצלחה!

גרסה מ־18:09, 1 בנובמבר 2012

שאלה 1

לכל קבוצה E \subseteq \mathbb{R} ומספרים a,b \in \mathbb{R} מגדירים aE+b:=\{ a x+b:x \in E \} (ז"א ש-aE+b היא תמונת E תחת הפונקציה הלינארית x \mapsto ax+b).

הוכיחו: m^*(aE+b)=|a| m^*(E)

שאלה 2

א. יהי \{E_n\}_{n=1}^N אוסף סופי של תתי-קבוצות של \mathbb{R}. הוכיחו שמתקיים \overline{\cup_{n=1}^N E_n}=\cup_{n=1}^N \overline{E_n}

ב. הוכיחו שלא בהכרח מתקיים שוויון כאשר מדובר באוסף אינסופי.

שאלה 3

הגדרה: נאמר שקבוצה G \subseteq \mathbb{R} היא מטיפוס G_\delta אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.


תהי E \subseteq \mathbb{R} הוכיחו שקיימת קבוצה G \in G_\delta המקיימת E \subseteq G וכן m^*(G)=m^*(E)

הדרכה: עקבו אחרי השלבים הבאים:

א. הוכיחו שלכל קבוצה E \subseteq \mathbb{R} ולכל \varepsilon>0 קיימת קבוצה פתוחה O, המקיימת E \subseteq O וכן m^*(O) \leq m^*(E)+\varepsilon

ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.


בהצלחה!

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-341_תשעג_סמסטר_א/תרגילים/תרגיל_1&oldid=27666