הבדלים בין גרסאות בדף "88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 1"

גרסה מ־08:32, 20 באוקטובר 2013

שאלה 1

לכל קבוצה $E \subseteq \mathbb{R}$ ומספרים $a,b \in \mathbb{R}$ מגדירים $aE+b:=\{ a x+b:x \in E \}$ (ז"א ש- $aE+b$ היא תמונת $E$ תחת הפונקציה הלינארית $x \mapsto ax+b$ ).

הוכיחו: $m^*(aE+b)=|a| m^*(E)$

שאלה 2

הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית הינה מדידה.

שאלה 3

הגדרה: נאמר שקבוצה $G \subseteq \mathbb{R}$ היא מטיפוס $G_\delta$ אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.

תהי $E \subseteq \mathbb{R}$ הוכיחו שקיימת קבוצה $G \in G_\delta$ המקיימת $E \subseteq G$ וכן $m^*(G)=m^*(E)$

הדרכה: עקבו אחרי השלבים הבאים:

א. הוכיחו שלכל קבוצה $E \subseteq \mathbb{R}$ ולכל $\varepsilon>0$ קיימת קבוצה פתוחה $O$ , המקיימת $E \subseteq O$ וכן $m^*(O) \leq m^*(E)+\varepsilon$

ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.

בהצלחה!

@@ שורה 4: / שורה 4: @@
 הוכיחו: <math>m^*(aE+b)=|a| m^*(E)</math>
 == שאלה 2 ==
-א. יהי <math>\{E_n\}_{n=1}^N</math> אוסף סופי של תתי-קבוצות של <math>\mathbb{R}</math>. הוכיחו שמתקיים <math>\overline{\cup_{n=1}^N E_n}=\cup_{n=1}^N \overline{E_n}</math>
+הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית הינה מדידה.
-ב. הוכיחו שלא בהכרח מתקיים שוויון כאשר מדובר באוסף אינסופי.
 == שאלה 3 ==
 '''הגדרה:''' נאמר שקבוצה <math>G \subseteq \mathbb{R}</math> היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.

הבדלים בין גרסאות בדף "88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 1"

גרסה מ־08:32, 20 באוקטובר 2013

שאלה 1

שאלה 2

שאלה 3

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים