הבדלים בין גרסאות בדף "פולינום מינימלי"
מתוך Math-Wiki
(←תכונות) |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | [[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | ||
==הגדרה== | ==הגדרה== | ||
תהי A מטריצה ריבועית. אזי הפולינום המינימלי של A, מסומן <math>m_A(x)</math> הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים | תהי A מטריצה ריבועית. אזי הפולינום המינימלי של A, מסומן <math>m_A(x)</math> הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים | ||
שורה 37: | שורה 38: | ||
===ב=== | ===ב=== | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− |
גרסה מ־07:37, 13 בנובמבר 2012
הגדרה
תהי A מטריצה ריבועית. אזי הפולינום המינימלי של A, מסומן הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים
הערה: פולינום מתוקן הינו פולינום מהצורה , כלומר המקדם של המונום בעל החזקה הגבוהה ביותר הינו אחד.
תכונות
- לכל פולינום f כך ש מתקיים . בפרט ממשפט קיילי-המילטון נובע כי הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני
- לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.
- מסקנה: על מנת לחשב את הפולינום האופייני, נמצא את הפולינום המכיל את הגורמים האי פריקים של הפולינום האופייני, בחזקות הכי נמוכות, המאפס את המטריצה
תרגילים
א
הוכח כי למטריצות דומות אותו פולינום מינימלי
הוכחה.
ראשית נשים לב לעובדה הבאה- יהי פולינום f ותהיינה מטריצות דומות A,B אזי גם המטריצות דומות.
אכן, נסמן ונסמן . לכן:
מסקנה: נניח A,B מטריצות דומות, אזי לכל פולינום f מתקיים אם"ם .
אכן, המטריצה היחידה הדומה למטריצת האפס הינה מטריצת האפס עצמה. כיוון ש דומות, המסקנה נובעת.
בסה"כ, כיוון שהפולינומים המאפסים מטריצות דומות הם אותם פולינומים, בפרט המינימלי המתוקן מבינהם הוא אותו אחד.