הבדלים בין גרסאות בדף "88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 3"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏שאלה 3)
(←‏שאלה 2)
 
שורה 8: שורה 8:
  
 
  אם <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> תת קבוצה צפופה של <math>\mathbb{R}</math>, ולכל <math>\alpha \in E</math> אחד מהתנאים <math>(i),(ii),(iii),(iv)</math> מתקיימים, אזי הפונקציה מדידה.
 
  אם <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> תת קבוצה צפופה של <math>\mathbb{R}</math>, ולכל <math>\alpha \in E</math> אחד מהתנאים <math>(i),(ii),(iii),(iv)</math> מתקיימים, אזי הפונקציה מדידה.
 +
 +
'''רמז''': לכל <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> יש סדרת נקודות <math>\left( \alpha_n \right)_{n=1}^\infty</math> ב-<math>E</math> המתכנסת אליה.
  
 
== שאלה 3 ==
 
== שאלה 3 ==

גרסה אחרונה מ־13:40, 18 בנובמבר 2012

שאלה 1

יהי (X,S) מרחב מדיד, ותהי E \subseteq X. הוכיחו:

E מדידה \iff פונקציית האינדיקטור I_E:X \rightarrow \mathbb{R} היא מדידה.

שאלה 2

בהגדרה של פונקציה מדידה, דרשנו שאחד מהתנאים (i),(ii),(iii),(iv) יתקיים לכל \alpha \in \mathbb{R}. הוכיחו שניתן להחליש את הדרישה באופן הבא: 

אם E \subseteq \mathbb{R} תת קבוצה צפופה של \mathbb{R}, ולכל \alpha \in E אחד מהתנאים (i),(ii),(iii),(iv) מתקיימים, אזי הפונקציה מדידה.

רמז: לכל \alpha \in \mathbb{R} יש סדרת נקודות \left( \alpha_n \right)_{n=1}^\infty ב-E המתכנסת אליה.

שאלה 3

יהיו (X,S) מ"מ, f:X \rightarrow \mathbb{R} מדידה, ו-g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} רציפה. הוכיחו כי הרכבת הפונקציות, g \circ f היא פונקציה מדידה.

(הערה: תרגיל זה יכול להסביר למה הפונקציות \sin(2x),\cos(x)+1 מהתרגול הן מדידות).

שאלה 4

תהי f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} מדידה בורל. הוכיחו כי הקבוצות הבאות מדידות בורל (העזרו בשאלה הקודמת):

א. A=\{ x \in \mathbb{R}:f^3(x)<x \}

ב. B=\{x \in \mathbb{R}: f^2(x)+e^{f(x)}<f(x)+e^x \}

שאלה 5

יהי (X,S) מ"מ. הוכיחו ישירות מההגדרה כי אם f:X \rightarrow \mathbb{R} מדידה ומקיימת f(x) \neq 0 לכל x \in X, אזי הפונקציה \frac{1}{f} :X \rightarrow\mathbb{R} גם היא מדידה.

בהצלחה!

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-341_תשעג_סמסטר_א/תרגילים/תרגיל_3&oldid=28512