הבדלים בין גרסאות בדף "תקציר מבוא לקומבינטוריקה, סמסטר א תשע״ג"
מתוך Math-Wiki
מ (←פונקציות יוצרות) |
מ (←פונקציות יוצרות) |
||
שורה 77: | שורה 77: | ||
* נרצה לחשב את <math>c_n:=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}</math>. נגדיר <math>f_1(x)=\sum_{i=0}^\infty a_ix^i</math> ו־<math>f_2(x)=\sum_{i=0}^\infty b_ix^i</math> ולכן <math>f_1(x)f_2(x)=\sum_{i=0}^\infty c_i x^i</math>. | * נרצה לחשב את <math>c_n:=\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}</math>. נגדיר <math>f_1(x)=\sum_{i=0}^\infty a_ix^i</math> ו־<math>f_2(x)=\sum_{i=0}^\infty b_ix^i</math> ולכן <math>f_1(x)f_2(x)=\sum_{i=0}^\infty c_i x^i</math>. | ||
* נרצה למצוא את מספר הפתרונות של <math>\sum_{i=1}^k t_i=n</math> כאשר <math>\forall i:\ t_i\in A_i\subseteq\mathbb N_0</math>. נתאים לכל משתנה פונקציה יוצרת <math>f_i(x)=\sum_{t\in A_i} x^t</math> ולכן מספר הפתרונות הדרוש הוא המקדם של <math>x^n</math> ב־<math>\prod_{i=1}^k f_i(x)</math>. | * נרצה למצוא את מספר הפתרונות של <math>\sum_{i=1}^k t_i=n</math> כאשר <math>\forall i:\ t_i\in A_i\subseteq\mathbb N_0</math>. נתאים לכל משתנה פונקציה יוצרת <math>f_i(x)=\sum_{t\in A_i} x^t</math> ולכן מספר הפתרונות הדרוש הוא המקדם של <math>x^n</math> ב־<math>\prod_{i=1}^k f_i(x)</math>. | ||
− | * נרצה למצוא כמה חליפות עם חזרות קיימות של <math>n</math> מתוך <math>k</math> כאשר | + | * נרצה למצוא כמה חליפות עם חזרות קיימות של <math>n</math> מתוך <math>k</math> כאשר כל <math>i</math> חייב להופיע מספר פעמים השייך לקבוצה <math>A_i\subseteq\mathbb N_0</math>. נתאים לכל מספר פונקציה <math>f_i(x)=\sum_{t\in A_i}\frac{x^t}{t!}</math> ולכן הכמות הדרושה היא המקדם של <math>\frac{x^n}{n!}</math> ב־<math>\prod_{i=1}^k f_i(x)</math>. |
* אם <math>X:A\to\{0,1,\dots,n\}</math> משתנה מקרי כש־<math>|A|<\infty</math> ו־<math>f(x)=\sum_{k=0}^n |X^{-1}[\{k\}]|x^k</math> אז <math>f(1)=|A|</math>, התוחלת היא <math>\mbox{E}(X)=\frac{f'(1)}{f(1)}</math> והשונות היא <math>\mbox{V}(X)=\frac{f''(1)}{f(1)}+\mbox{E}(X)-\mbox{E}^2(X)</math>. | * אם <math>X:A\to\{0,1,\dots,n\}</math> משתנה מקרי כש־<math>|A|<\infty</math> ו־<math>f(x)=\sum_{k=0}^n |X^{-1}[\{k\}]|x^k</math> אז <math>f(1)=|A|</math>, התוחלת היא <math>\mbox{E}(X)=\frac{f'(1)}{f(1)}</math> והשונות היא <math>\mbox{V}(X)=\frac{f''(1)}{f(1)}+\mbox{E}(X)-\mbox{E}^2(X)</math>. | ||
גרסה מ־13:42, 3 בפברואר 2013
בתקציר זה, אלא אם צוין אחרת, כל המשתנים והנעלמים שלמים ואי־שליליים למעט . ראשוני ו־ אינו שלם או אי־שלילי רק במקרים בהם הוא מוצג כמשתנה בפולינום. שדה.
- נסמן . היא קבוצת כל התמורות על .
- חלוקת קבוצות של ל־ היא בחירה של תתי־קבוצות זרות עבורן .
- סדרת פיבונצ׳י תסומן והיא מקיימת .
- ריצוף דומינו של הוא כיסוי של על ידי קטעים זרים מאורך 1 שקצותיהם נקודות ב־.
- ללוח בגודל קיים ריצוף דומינו אם״ם זוגי.
- ללוח בגודל קיימים ריצופי דומינו.
- עקרון שובך יונים: בחלוקה של קבוצה סופית ל־ יש לפחות תת־קבוצה אחת שמספר איבריה הוא לכל הפחות .
- סימונים: . לכן . בנוסף, ו־.
- חליפה: נניח . חליפה של איברים מתוך היא ־יה סדורה של איברים שונים מקבוצה בת איברים (כלומר, חליפה היא בחירה ללא חזרות ועם חשיבות לסדר). מספר החליפות הוא .
- תמורה היא חליפה של מתוך , ומספר התמורות הוא .
- חליפה עם חזרות היא ־יה סדורה של איברים (לא דווקא שונים) מתוך . יש חליפות עם חזרות.
- צירוף: נניח . צירוף של איברים מתוך הוא תת־קבוצה של קבוצה בת איברים (כלומר, צירוף הוא בחירה ללא חזרות ובלי חשיבות לסדר). מספר הצירופים הוא .
- צירוף עם חזרות: הוא רב־קבוצה מסדר של איברים מתוך קבוצה בת איברים. יש צירופים עם חזרות.
- מספר הצירופים עם חזרות של מתוך שווה למספר הדרכים לבחור עצמים מתוך סוגים, ששווה למספר הפתרונות השלמים ואי־שליליים ל־.
- הווקטור האופייני של קבוצה מוגדר ע״י .
- סדרה אונימוצלית היא סדרה כך שקיים עבורו עולה במובן הרחב ו־ יורדת במובן הרחב.
- היא סדרה אונימוצלית כאשר אם זוגי אז ואחרת (כי ).
- הפרת סדר בתמורה היא זוג כך ש־. מספר הפרות הסדר מסומן וסימן התמורה מוגדר כ־. התמרה תקרא זוגית אם ואי־זוגית אחרת. יש התמרות מכל סוג שסדרן .
- מורד: עבור נקרא ל־ מורָד (descent) אם . קבוצת המורדות תסומן .
- .
- אם אז .
- יהי פולינום . נסמן .
- .
- משפט פרמה הקטן: .
- פיתוח של מספר לפי ראשוני: נניח ו־. אזי קיימים שלמים כך ש־ ו־. סכום זה נקרא "הפיתוח של לפי ".
- אם אז . לפיכך, .
- משפט לוקאס: נניח ש־ ו־ פיתוחים לפי . אזי .
- אם״ם בפיתוחים יש עבורו .
- פירוק/קומפוזיציה של הוא הצגה של כסכום של טבעיים.
- יש פירוקים של (כאשר יש חשיבות לסדר ( שונה מ־) וחזרות מותרות ( ייספר כפירוק של 3)).
- מקדם מולטינומי: מספר המילים מאורך שבהן המספר מופיע פעמים () הוא .
- סימונים: . כמו כן, ו־. ניתן להראות ש־ שלם.
- ו־.
- אם זוגי אז אי־זוגי.
- מספר התתי־מרחבים ממימד של מרחב וקטורי (כאשר ל־ יש איברים) הוא .
- אם אז , כלומר זה פולינום במשתנה שמקדמיו שלמים ואי־שליליים. למעשה, הוא גם מתוקן, דרגתו והוא סימטרי (כלומר המקדם של שווה למקדם של לכל ).
- הילוך שריג הוא סדרת צעדים בין נקודות ב־ שכל אחד מהם הוא הוספת 1 לאחת מהקואורדינטות של הנקודה בה נמצאים.
- יש הילוכי שריג מ־ ל־.
- נסמן כמספר הילוכי השריג מ־ ל־ שהשטח המוגבל על־ידם, ציר ה־x והישר הוא . בנוסף, נגדיר . אזי .
- נסמן . אזי .
- יהי וקטור שרכיביו אפסים ואחדות. אם ו־ נכנה זאת הפרת סדר. אם נסמן אז .
- חלוקה של היא וקטור שסכום רכיביו הוא (כלומר ) והם מסודרים בסדר יורד במובן הרחב. מספר החלוקות מסומן .
- מספר החלוקות של עם לכל היותר רכיבים הוא המקדם של בפולינום , כלומר .
- דיאגרמת יאנג של חלוקה היא דיאגרמת משבצות כך שבשורה ה־ יש משבצות המיושרות לשמאל.
- טבלת יאנג היא התאמה חח״ע ממשבצות של דיאגרמת יאנג נתונה (שנוצרת מחלוקה של ) על כך שהמספרים עולים לאורך השורות העמודות.
- היא מספר טבלאות יאנג שקיימות לדיאגרמת יאנג הנוצרת מהחלוקה .
- .
- נוסחת הווים: תהי ונרצה לחשב את . לכל משבצת בדיאגרמת יאנג נתאים "אורך וו" (hook length) כמספר המשבצות באותה שורה או עמודה שאחרי המשבצת הנתונה ועוד 1. נסמן כמכפלת אורכי הווים של כל המשבצות. אזי .
- הילוכי דיק הם הילוכי שריג מ־ ל־ שנמצאים על ומעל הישר .
- מספר קטלן הוא מספר הילוכי דיק ל־, מסומן ושווה ל־.
- נניח ש־. יש הילוכי דיק ל־ שאינם עוברים על הישר למעט בנקודה .
- מילת דיק מאורך היא סדרה כך ש־, ו־. יש מילות דיק מאורך .
- עץ בינארי שלם/מלא הוא עץ כך שלכל אב יש בדיוק 2 בנים, כלומר לכל קודקוד שאינו עלה יש דרגה 3 למעט קודקוד אחד, שנקרא שורש. אם מבדילים בין הבן הימני לבן השמאלי אז יש עצים בינארים מלאים עם עלים.
- בהינתן מכפלה לא אסוציאטיבית יש דרכים להוסיף סוגריים.
- שילוש של מצולע משוכלל בעל קודקודים הוא מבנה גיאומטרי הנוצר מהמצולע כשמעבירים בו אלכסונים שאינם חותכים זה את זה פרט לבקודקודי המצולע. יש דרכים לשלש מצולע משוכלל בעל צלעות.
- מספר בל הוא מספר חלוקות הקבוצה ומסומן .
- מספר סטירלינג הלא מסומן מסוג I הוא מספר התמורות על עם מחזורים ומסומן .
- .
- .
- מספר סטירלינג מסוג I הוא .
- יהי . נסמן בתור המטריצה שהרכיב בשורה ה־ ובעמודה ה־ שלה הוא .
- .
- מספר סטירלינג מסוג II הוא מספר חלוקות הקבוצה ל־ תתי־קבוצות לא ריקות ומסומן .
- .
- יהי . נסמן בתור המטריצה שהרכיב בשורה ה־ ובעמודה ה־ שלה הוא .
- .
- .
פונקציות יוצרות
- טור חזקות פורמלי במשתנה מכל (בד״כ ) הוא ביטוי מהצורה כאשר . הטור לא חייב להתכנס. אוסף טורי החזקות הפורמליים ב־ מעל מסומן .
- אם אז הטור הוא פולינום. אוסף הפולינומים ב־ מעל מסומן .
- נוסחת טיילור: אם אז .
- פונקציה יוצרת: לכל סדרה נתאים פונקציה .
- פונקציה יוצרת מעריכית: לכל סדרה נתאים פונקציה . פונקציות אלה שימושיות לספירת עצמים עבורם הסדר משנה.
- נרצה לחשב את . נגדיר ו־ ולכן .
- נרצה למצוא את מספר הפתרונות של כאשר . נתאים לכל משתנה פונקציה יוצרת ולכן מספר הפתרונות הדרוש הוא המקדם של ב־.
- נרצה למצוא כמה חליפות עם חזרות קיימות של מתוך כאשר כל חייב להופיע מספר פעמים השייך לקבוצה . נתאים לכל מספר פונקציה ולכן הכמות הדרושה היא המקדם של ב־.
- אם משתנה מקרי כש־ ו־ אז , התוחלת היא והשונות היא .
נוסחאות נסיגה
- נוסחת נסיגה מסדר היא נוסחה מהצורה .
- איברי סדרה המקיימת נוסחת נסיגה כזו נקבעים ע״י האיברים הראשונים, והם נקראים תנאי ההתחלה.
- נוסחת נסיגה לינארית מסדר היא נוסחה מהצורה . אם פונקציות קבועות אז נאמר שהנוסחה עם מקדמים קבועים. אם אז נאמר שהיא הומוגנית.
- קבוצת הסדרות הפותרות נוסחת נסיגה לינארית הומוגנית מסדר היא מרחב וקטורי ממימד .
- נרצה לחשב את אברי בהינתן תנאי ההתחלה ונוסחת נסיגה . נעזר בפונקציה היוצרת ואם קיימת פונקציה עבורה אז נבודד את ונקבל נוסחה מפורשת למקדמים של .
- תהי נוסחת נסיגה לינארית הומוגנית מסדר . נניח שיש עבורו (לא תמיד זה נכון). אזי פתרון. נקרא "הפולינום האופייני של נוסחת הנסיגה" ואם אז הוא שווה ל־0 בנקודה . יש לו שורשים אם כל שורשיו מריבוי 1 ואם נניח שהם אז . המרחב הווקטורי של הפתרונות הוא אם כן . אם נתונים תנאי ההתחלה ניתן גם לחשב את ה־־ים.
נוסחאות
- נוסחת הנסיגה של פסקל:
- זהות הקפטן:
- הבינום של ניוטון:
- אם אז
- אם אז
- נוסחת המולטינום:
- נוסחת q־פסקל:
- q־בינום:
- נוסחת נסיגה למספרי קטלן: ו־
- נוסחת נסיגה למספרי בל: ו־
- נוסחת נסיגה למספרי סטירלינג לא מסומנים מסוג I: ו־
- נוסחת נסיגה למספרי סטירלינג מסוג I:
- נוסחת נסיגה למספרי סטירלינג מסוג II: ו־