הבדלים בין גרסאות בדף "אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית"
מתוך Math-Wiki
(←מצב רביעי deg(p)>deg(q)) |
(←מצב חמישי) |
||
שורה 93: | שורה 93: | ||
*נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני. | *נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני. | ||
− | ==מצב חמישי | + | ==מצב חמישי <math>p=f',q=f^m</math>== |
− | + | ||
− | <math> | + | |
+ | <math>\int {\frac{f'}{f^m}}</math> מבצעים את ההצבה <math>t=f(x)</math> | ||
=דוגמאות= | =דוגמאות= |
גרסה מ־09:06, 13 במרץ 2013
תוכן עניינים
אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
תהי פונקציה מהצורה כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב .
עובדה. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סגור ממשית. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).
מצב ראשון
ניתן למצוא קבוע c כך ש כך ש.
אז רושמים
וממשיכים לשלב הבא:
מצב שני
- נפרק את q לגורמים אי פריקים:
- כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
- נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים .
- נחשב כל מחובר בנפרד:
אינטגרל מהצורה
נבצע הצבה על מנת לקבל:
אינטגרל מהצורה (כאשר המכנה אי פריק)
- נבצע השלמה לריבוע על מנת לקבל את האינטגרל
- כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה
- נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
אינטגרל מהצורה (כאשר המכנה אי פריק)
- דבר ראשון, בדומה למצב הראשון,נצמצם את הבעייה לאינטגרל מהצורה
- את החלק פותרים לפי הנוסחא לעיל
- לחלק הנותר נבצע הצבה לקבל אינטגרל פתיר מהצורה
מצב שלישי
- קיים קבוע c כך שקיים פולינום h המקיים וגם .
- נפריד את האינטגרל לשניים
- נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.
מצב רביעי
- נבצע חלוקת פולינומים על מנת לקבל את הנוסחא כאשר מתקיים
- מתקיים
- נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.
מצב חמישי
מבצעים את ההצבה
דוגמאות
דוגמא 1
בדוגמא זו ניתן להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה ולקבל