הבדלים בין גרסאות בדף "תקציר פיזיקה למתמטיקאים, סמסטר ב תשע״ג"
מתוך Math-Wiki
שורה 1: | שורה 1: | ||
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן: | להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן: | ||
− | * <math>\vec r, \vec v, \vec a</math> | + | * <math>\vec r, \vec v, \vec a, m</math> הן המיקום, המהירות, התאוצה והמסה כפונקציה של הזמן <math>t</math> בהתאמה. |
* לכל פונקציה <math>f</math> של הזמן נסמן <math>f_0=f(0)</math> ערך הפונקציה בזמן ההתחלה. | * לכל פונקציה <math>f</math> של הזמן נסמן <math>f_0=f(0)</math> ערך הפונקציה בזמן ההתחלה. | ||
− | * לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u= | + | * לכל וקטור <math>\vec u</math> נסמן כ־<math>u=|\vec u|</math> את גודלו וכ־<math>\hat u=\sgn(\vec u)</math> את כיוונו. |
== הקדמה == | == הקדמה == | ||
שורה 52: | שורה 52: | ||
== קינמטיקה == | == קינמטיקה == | ||
− | * <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v | + | * <math>\vec v=\dot\vec r\ \and\ \vec a=\dot\vec v</math>. |
+ | * '''התדירות הזוויתית:''' <math>\omega:=\dot\theta</math>. | ||
+ | * '''התנע:''' <math>\vec p=m\vec v</math>. | ||
* '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\vec v_0</math>. אזי <math>\vec r=\vec v_0t+\vec r_0</math>. | * '''תנועה במהירות קבועה:''' <math>\vec v(t)\equiv\vec v_0</math>. אזי <math>\vec r=\vec v_0t+\vec r_0</math>. | ||
* '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\vec a_0</math>. אזי <math>\vec v=\vec a_0t+\vec v_0</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v_0t+\vec r_0</math>. | * '''תנועה בתאוצה קבועה:''' <math>\vec a(t)\equiv\vec a_0</math>. אזי <math>\vec v=\vec a_0t+\vec v_0</math> ו־<math>\vec r=\frac\vec a2 t^2+\vec v_0t+\vec r_0</math>. | ||
שורה 60: | שורה 62: | ||
::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>. | ::* '''התדירות''' מוגדרת כ־<math>f:=\frac\omega{2\pi}</math>. | ||
::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>. | ::* '''זמן המחזור''' מוגדר כ־<math>T:=f^{-1}=\frac{2\pi}\omega</math>. | ||
+ | |||
+ | == מכניקה == | ||
+ | === חוקי התנועה של ניוטון === | ||
+ | # גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: <math>\vec v\equiv\text{const.}</math>. | ||
+ | # גוף שמסתו <math>m</math> ופועל עליו כוח <math>\vec F=\dot\vec p</math>. | ||
+ | # אם גוף 1 מפעיל כוח <math>\vec F_{21}</math> על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח <math>\vec F_{12}=-\vec F_{21}</math> על גוף 1. | ||
+ | |||
+ | === כוחות נפוצים === | ||
+ | * '''כוח אלסטי:''' נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה <math>\vec r_\text{loose}</math> במצב רפוי ובנקודה <math>\vec r</math> בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח <math>\vec F=-k\Delta x\sgn(\vec r-\vec r_\text{loose})</math> כאשר <math>k>0</math> הוא ''קבוע האלסטיות של הקפיץ'' ו־<math>\Delta x</math> השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי. | ||
+ | :* '''מתנד (אוסצילטור) הרמוני:''' מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו. המערכת הנ״ל היא דוגמה למערכת כזו. | ||
+ | :* {{הערה|דוגמה:}} אם נניח שלקצה ההשני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־<math>x</math> וש־<math>x_0=0</math> היא הנקודה בה הקפיץ רפוי אזי משוואת הכוחות בציר ה־<math>x</math> על הגוף תהא <math>F_x=-kx=m\ddot x</math> ולכן <math>x(t)=A\sin(\omega t+\phi)</math> כש־<math>m</math> מסת הגוף, <math>\omega=\sqrt\frac km</math>, <math>A</math> היא ''משרעת'' התנודה. את המשרעת ואת <math>\phi</math> ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה. | ||
+ | * '''כוח מתיחות:''' בהנתן חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע מופעל על הקצה השני כוח <math>\vec T=-T\hat\mathbf n</math> כאשר <math>\hat\mathbf n</math> וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־<math>T</math> גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע. | ||
+ | * '''כוח נורמלי:''' משטח מפעיל כוח <math>\vec N</math> על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח. | ||
+ | * '''כוח הכובד:''' בקרבת כדה״א מופעל כוח הגרביטציה <math>-mg\hat\mathbf z</math> כאשר <math>m</math> מסת הגוף ו־<math>\hat\mathbf z</math> וקטור יחידה בכיוון מעלה. | ||
+ | |||
+ | === חוקי השימור === | ||
+ | תהא מערכת ובה הגופים <math>1,2,\dots,n</math>. נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף <math>i</math> כ־<math>\vec F_{ie}</math>. מסת הגוף <math>i</math> מסומנת <math>m_i</math>, מיקומו <math>\vec r_i</math> והתנע שלו – <math>\vec p_i</math>. | ||
+ | * '''המסה הכוללת''' של המערכת מוגדרת כ־<math>M:=\sum_{i=1}^n m_i</math>. | ||
+ | * '''מרכז המסה''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec R:=\frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec r_i}M</math>. | ||
+ | * '''התנע הכולל''' של המערכת מוגדר כ־<math>\vec p:=\sum_{i=1}^n\vec p_i</math>. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־<math>M\dot\vec R</math>. | ||
+ | * לפי החוק השלישי של ניוטון <math>\dot\vec p=\sum_{i=1}^n\dot\vec p_i=\sum_{i=1}^n\vec F_{ie}</math>. | ||
+ | * '''חוק שימור התנע:''' אם שקול הכוחות החיצוניים הוא <math>\vec 0</math> אז <math>\dot\vec p=0</math>, כלומר התנע הכולל קבוע. | ||
+ | :* אם התנע קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון). |
גרסה מ־19:54, 29 באפריל 2013
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
- הן המיקום, המהירות, התאוצה והמסה כפונקציה של הזמן בהתאמה.
- לכל פונקציה של הזמן נסמן ערך הפונקציה בזמן ההתחלה.
- לכל וקטור נסמן כ־ את גודלו וכ־ את כיוונו.
תוכן עניינים
הקדמה
יחידות
- זמן – שנייה:
- מרחק – מטר:
- מסה – קילוגרם:
- כוח – ניוטון:
- אנרגיה – ג׳אול:
- תדירות – הרץ:
קבועים
- גודל תאוצת הכובד בקרבת כדה״א:
תזכורות ונוסחאות
- מכפלה וקטורית:
- גרדיאנט:
- דיברגנץ:
- רוטור/קרל:
- לפלסיאן:
קואורדינטות
עבור קואורדינטות כפונקציות של הזמן מתקיים:
מ־↓ ל־← | קרטזיות | גליליות | כדוריות |
---|---|---|---|
קרטזיות | |||
גליליות | |||
כדוריות |
כאשר ו־.
כמו כן, .
קינמטיקה
- .
- התדירות הזוויתית: .
- התנע: .
- תנועה במהירות קבועה: . אזי .
- תנועה בתאוצה קבועה: . אזי ו־.
- תנועה בגודל מהירות קבוע: . זה קורה אם״ם .
- תנועה כללית במעגל: אם תנועת הגוף במעגל המונח על המישור שרדיוסו אזי , , ו־ כאשר נקראת התאוצה הרדיאלית והיא אחראית לשינוי בכיוון המהירות ו־ נקראת התאוצה הטנגנטית/משיקית והיא אחראית לשינוי בגודל המהירות. אם נסמן נקבל ו־.
- תנועה קצובה במעגל: תנועת גוף במעגל כנ״ל כך ש־. לכן ו־. התאוצה נקראת צנטריפטלית.
- התדירות מוגדרת כ־.
- זמן המחזור מוגדר כ־.
מכניקה
חוקי התנועה של ניוטון
- גוף שלא פועלים עליו כוחות ינוע במהירות וכיוון קבועים: .
- גוף שמסתו ופועל עליו כוח .
- אם גוף 1 מפעיל כוח על גוף 2 אז גוף 2 יפעיל כוח על גוף 1.
כוחות נפוצים
- כוח אלסטי: נתון קפיץ שקצה אחד שלו מקובע וקצהו השני נמצא בנקודה במצב רפוי ובנקודה בזמן הנוכחי. אזי מופעל על קצהו השני כוח כאשר הוא קבוע האלסטיות של הקפיץ ו־ השינוי באורך הקפיץ לעומת המצב הרפוי.
- מתנד (אוסצילטור) הרמוני: מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח פרופורציוני להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו. המערכת הנ״ל היא דוגמה למערכת כזו.
- דוגמה: אם נניח שלקצה ההשני מחובר גוף החופשי לנוע בציר ה־ וש־ היא הנקודה בה הקפיץ רפוי אזי משוואת הכוחות בציר ה־ על הגוף תהא ולכן כש־ מסת הגוף, , היא משרעת התנודה. את המשרעת ואת ניתן למצוא עפ״י תנאי התחלה.
- כוח מתיחות: בהנתן חוט מתוח שקצה אחד שלו מקובע מופעל על הקצה השני כוח כאשר וקטור יחידה בכיוון החוט (כלומר, ככיוון הווקטור המתחיל בקצה הראשון ונגמר בקצה השני), ו־ גודל הניתן לחישוב. בד״כ מניחים שאורך החוט קבוע.
- כוח נורמלי: משטח מפעיל כוח על גוף המונח עליו שכיוונו ניצב לפני המשטח בנקודת המגע בין הגוף למשטח.
- כוח הכובד: בקרבת כדה״א מופעל כוח הגרביטציה כאשר מסת הגוף ו־ וקטור יחידה בכיוון מעלה.
חוקי השימור
תהא מערכת ובה הגופים . נסמן את הכוח השקול של הכוחות החיצוניים למערכת הפועלים על גוף כ־. מסת הגוף מסומנת , מיקומו והתנע שלו – .
- המסה הכוללת של המערכת מוגדרת כ־.
- מרכז המסה של המערכת מוגדר כ־.
- התנע הכולל של המערכת מוגדר כ־. אם המסות קבועות אז הוא שווה ל־.
- לפי החוק השלישי של ניוטון .
- חוק שימור התנע: אם שקול הכוחות החיצוניים הוא אז , כלומר התנע הכולל קבוע.
- אם התנע קבוע אז מרכז המסה ינוע במהירות קבועה (בגודל ובכיוון).