הבדלים בין גרסאות בדף "כלל לופיטל"
מתוך Math-Wiki
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | + | =משפט לופיטל= | |
+ | נניח כי <math>\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^+}g(x)=0</math> ונניח עוד כי <math>f,g</math> גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים <math>\lim_{x\to a^+}=\frac{f'(x)}{g'(x)}=L</math> אז מתקיים <math>\lim_{x\to a^+}=\frac{f(x)}{g(x)}=L</math> | ||
− | + | ==הוכחה== | |
+ | נוכל לבנות <math>\tilde{f},\tilde{g} </math> רציפות שמקיימות <math> \tilde{f}=\begin{cases} | ||
f\left(x\right) & x\neq a\\ | f\left(x\right) & x\neq a\\ | ||
0 & x=a | 0 & x=a | ||
שורה 11: | שורה 13: | ||
ולכן נקבל <math>\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}=\lim_{c\to a^{+}}\frac{f'(c)}{g'(c)} </math> | ולכן נקבל <math>\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f'(c(x))}{g'(c(x))}=\lim_{c\to a^{+}}\frac{f'(c)}{g'(c)} </math> | ||
כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדויץ | כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש <math>a<c(x)<x</math> וממשפט הסנדויץ | ||
+ | |||
+ | =שימוש בכלל לופיטל= | ||
+ | |||
+ | תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה <math>x_0\in\mathbb{R}</math> או <math>x_0=\pm\infty</math> כך ש | ||
+ | :<math>\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=L</math> | ||
+ | :<math>\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=M</math> | ||
+ | |||
+ | נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים. | ||
+ | |||
+ | == מקרה ראשון <math>\frac{0}{0}</math> או <math>\frac{\infty}{\infty}</math>== | ||
+ | |||
+ | |||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] |
גרסה מ־17:07, 22 בפברואר 2014
תוכן עניינים
משפט לופיטל
נניח כי ונניח עוד כי גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים אז מתקיים
הוכחה
נוכל לבנות רציפות שמקיימות הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור שמקיימת ולכן נקבל כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש וממשפט הסנדויץ
שימוש בכלל לופיטל
תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה או כך ש
נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.