הבדלים בין גרסאות בדף "כלל לופיטל"
(←שימוש בכלל לופיטל) |
|||
שורה 62: | שורה 62: | ||
נגזור מונה ומכנה ונקבל | נגזור מונה ומכנה ונקבל | ||
:<math>= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow 0}-x = 0</math> | :<math>= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow 0}-x = 0</math> | ||
+ | |||
+ | '''שימו לב''': כלל לופיטל לא מוכרח להצליח. למשל במקרה זה, אם היינו מעבירים את הלוגריתם למכנה בתרגיל זה ומפעילים כלל לופיטל, לא היינו מתקדמים. נסו ותהנו. | ||
גרסה מ־17:32, 22 בפברואר 2014
תוכן עניינים
משפט לופיטל
נניח כי ונניח עוד כי גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים אז מתקיים
הוכחה
נוכל לבנות רציפות שמקיימות הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור שמקיימת ולכן נקבל כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש וממשפט הסנדויץ
שימוש בכלל לופיטל
תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה או כך ש
נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.
מקרה ראשון או
נניח או
אזי אם הגבול קיים, הוא שווה לגבול
דוגמא 1
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
דוגמא 2
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
דוגמא 3
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
מקרה שני
במקרה זה, אנו מעבירים את הביטוי לצורה של שבר מהמקרה הראשון.
דוגמא 4
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל:
נגזור מונה ומכנה ונקבל
שימו לב: כלל לופיטל לא מוכרח להצליח. למשל במקרה זה, אם היינו מעבירים את הלוגריתם למכנה בתרגיל זה ומפעילים כלל לופיטל, לא היינו מתקדמים. נסו ותהנו.