הבדלים בין גרסאות בדף "כלל לופיטל"
(←מקרה שלישי 0^0 או 1^\infty או \infty^0) |
|||
שורה 97: | שורה 97: | ||
===דוגמא 6=== | ===דוגמא 6=== | ||
+ | חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[x]{x}</math>. | ||
+ | |||
+ | ראשית, נשים לב כי בעצם מדובר בגבול | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim_{x\rightarrow\infty}x^{\frac{1}{x}}</math> | ||
+ | |||
+ | זהו המקרה של <math>\infty^0</math>. | ||
+ | |||
+ | כעת, | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim_{x\rightarrow\infty}x^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}e^{\frac{1}{x}ln(x)} = e^0=1</math> | ||
+ | |||
+ | (הרי חישבו כבר בדוגמא 1 כי <math>\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}ln(x)=0</math>). | ||
=משפט לופיטל והוכחתו= | =משפט לופיטל והוכחתו= |
גרסה מ־17:58, 22 בפברואר 2014
תוכן עניינים
כלל לופיטל
תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה או כך ש
נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.
מקרה ראשון או
נניח או
אזי אם הגבול קיים, הוא שווה לגבול
דוגמא 1
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
דוגמא 2
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
דוגמא 3
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
מקרה שני
נניח , ועלינו לחשב את הגבול .
במקרה זה, אנו מעבירים את הביטוי לצורה של שבר מהמקרה הראשון.
דוגמא 4
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל:
נגזור מונה ומכנה ונקבל
שימו לב: כלל לופיטל לא מוכרח להצליח. למשל במקרה זה, אם היינו מעבירים את הלוגריתם למכנה בתרגיל זה ומפעילים כלל לופיטל, לא היינו מתקדמים. נסו ותהנו.
דוגמא 5
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נעביר את הביטוי לצורה של שבר, ונפעיל את כלל לופיטל:
נגזור מונה ומכנה ונקבל
כעת, אין אנו רוצים לגזור ביטויים מסובכים. אנו יודעים כי , לכן נותר רק לחשב את הגבול
זהו מקרה של , לכן נפעיל כלל לופיטל (פעמיים):
אם נחבר את כל התוצאות יחדיו, נקבל כי
מקרה שלישי או או
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול .
כאשר או או .
בכל אחד מהמקרים נשתמש בדרך הבאה-
ראשית נבחין כי ,
שנית, נחשב את הגבול .
לבסוף, קיבלנו כי מתקיים
דוגמא 6
חשבו את הגבול .
ראשית, נשים לב כי בעצם מדובר בגבול
זהו המקרה של .
כעת,
(הרי חישבו כבר בדוגמא 1 כי ).
משפט לופיטל והוכחתו
נניח כי ונניח עוד כי גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים אז מתקיים
הוכחה
נוכל לבנות רציפות שמקיימות הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור שמקיימת ולכן נקבל כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש וממשפט הסנדויץ