הבדלים בין גרסאות בדף "כלל לופיטל"
(←מקרה שלישי 0^0 או 1^\infty או \infty^0) |
(←מקרה שלישי 0^0 או 1^\infty או \infty^0) |
||
שורה 110: | שורה 110: | ||
(הרי חישבו כבר בדוגמא 1 כי <math>\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}ln(x)=0</math>). | (הרי חישבו כבר בדוגמא 1 כי <math>\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}ln(x)=0</math>). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==מקרה רביעי <math>\infty - \infty</math>== | ||
+ | |||
+ | במקרה זה עלינו לחשב את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow x_0}f-g</math> כאשר <math>L=M=\infty</math>. | ||
+ | |||
+ | במקרה זה נבצע '''מכנה משותף''' או שנוציא '''גורם משותף''' בהתאם לתרגיל, על מנת לעבור למקרה הראשון או השני של כלל לופיטל. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===דוגמא 7=== | ||
+ | חשבו את הגבול <math>\lim_{x\rightarrow 1}\Big(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{lnx}\Big)</math>. | ||
+ | |||
+ | זהו המקרה של <math>\infty-\infty</math> נבצע מכנה משותף ונקבל | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim_{x\rightarrow 1}\Big(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{lnx}\Big) = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{lnx-x+1}{(x-1)lnx}=</math> | ||
+ | |||
+ | זהו המקרה של <math>\frac{0}{0}</math>, נגזור מונה ומכנה ונקבל: | ||
+ | |||
+ | :<math>=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{1}{x}-1}{lnx+\frac{x-1}{x}} = \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x}{xlnx+x-1}=</math> | ||
+ | |||
+ | שוב נגזור מונה ומכנה ונקבל | ||
+ | |||
+ | :<math>=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-1}{lnx + 1 +1} = \frac{-1}{2}</math> | ||
=משפט לופיטל והוכחתו= | =משפט לופיטל והוכחתו= |
גרסה מ־18:07, 22 בפברואר 2014
תוכן עניינים
כלל לופיטל
תהיינה שתי פונקציות f,g. ותהי נקודה או
כך ש
נראה כיצד ניתן להעזר בכלל לופיטל על מנת לחשב גבולות במקרים בהם משפטי האריתמטיקה הרגילים נכשלים.
מקרה ראשון
או ![\frac{\infty}{\infty}](/images/math/2/6/e/26ea0473a6b118c9e3bad5b0337f78e2.png)
נניח או
אזי אם הגבול קיים, הוא שווה לגבול
דוגמא 1
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
דוגמא 2
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
דוגמא 3
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נגזור את המונה והמכנה בנפרד ונקבל
מקרה שני ![0\cdot \infty](/images/math/f/d/c/fdcd6954d6263fa2f89e6c9ff214160f.png)
נניח ,
ועלינו לחשב את הגבול
.
במקרה זה, אנו מעבירים את הביטוי לצורה של שבר מהמקרה הראשון.
דוגמא 4
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נעביר את הביטוי לצורה של שבר (באמצעות כלל האוזן), ונפעיל את כלל לופיטל:
נגזור מונה ומכנה ונקבל
שימו לב: כלל לופיטל לא מוכרח להצליח. למשל במקרה זה, אם היינו מעבירים את הלוגריתם למכנה בתרגיל זה ומפעילים כלל לופיטל, לא היינו מתקדמים. נסו ותהנו.
דוגמא 5
חשבו את הגבול .
זהו מקרה של . נעביר את הביטוי לצורה של שבר, ונפעיל את כלל לופיטל:
נגזור מונה ומכנה ונקבל
כעת, אין אנו רוצים לגזור ביטויים מסובכים. אנו יודעים כי , לכן נותר רק לחשב את הגבול
זהו מקרה של , לכן נפעיל כלל לופיטל (פעמיים):
אם נחבר את כל התוצאות יחדיו, נקבל כי
מקרה שלישי
או
או ![\infty^0](/images/math/b/a/6/ba6c6c6c412ea1d062f4467356cc4013.png)
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול .
כאשר או
או
.
בכל אחד מהמקרים נשתמש בדרך הבאה-
ראשית נבחין כי ,
שנית, נחשב את הגבול .
לבסוף, קיבלנו כי מתקיים
דוגמא 6
חשבו את הגבול .
ראשית, נשים לב כי בעצם מדובר בגבול
זהו המקרה של .
כעת,
(הרי חישבו כבר בדוגמא 1 כי ).
מקרה רביעי ![\infty - \infty](/images/math/1/2/6/126333137d5dc12d573e9963f64be160.png)
במקרה זה עלינו לחשב את הגבול כאשר
.
במקרה זה נבצע מכנה משותף או שנוציא גורם משותף בהתאם לתרגיל, על מנת לעבור למקרה הראשון או השני של כלל לופיטל.
דוגמא 7
חשבו את הגבול .
זהו המקרה של נבצע מכנה משותף ונקבל
זהו המקרה של , נגזור מונה ומכנה ונקבל:
שוב נגזור מונה ומכנה ונקבל
משפט לופיטל והוכחתו
נניח כי ונניח עוד כי
גזירות בסביבה ימנית של a ומתקיים
אז מתקיים
הוכחה
נוכל לבנות רציפות שמקיימות
הגבול של מנתם בa יהיה זהה לגבול המקורי כי הוא נבדל ממנו רק בנקודה 1 לשם נוחות נמשיך לקרוא להם .f,g על פי משפט ערך הביניים של קושי עבור כל x בסביבה הימנית של a שבה f,g מוגדרות נוכל לבחור
שמקיימת
ולכן נקבל
כרצוי השיוויון האחרון נובע מכך ש
וממשפט הסנדויץ