הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:המספר של אוילר e"
מתוך Math-Wiki
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | <latex2pdf> | ||
+ | <tex>קוד:ראש</tex> | ||
+ | |||
\subsection{הגדרה} | \subsection{הגדרה} | ||
נגדיר את $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ . | נגדיר את $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ . | ||
− | \ | + | \begin{thm} |
+ | קיים הגבול $\lim_{n\to \infty} x_n $ , לגבול הזה קוראים $e$. | ||
+ | \end{thm} | ||
− | \ | + | \begin{proof} |
+ | נוכיח שהסדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל. | ||
עולה מונוטונית: | עולה מונוטונית: | ||
− | $ \frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^{n}}{(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n}}{(\frac{n}{n-1})^{n-1}}=\frac{(n+1)^n (n-1)^{n-1}}{n^n n^{n-1}}=\frac{(n^2-1)^n n}{n^{2n}(n-1)}=(1-\frac{1}{n^2})^n \frac{n}{n-1} $ | + | $$ \frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^{n}}{(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n}}{(\frac{n}{n-1})^{n-1}}=\frac{(n+1)^n (n-1)^{n-1}}{n^n n^{n-1}}=$$ |
+ | $$\frac{(n^2-1)^n n}{n^{2n}(n-1)}=(1-\frac{1}{n^2})^n \frac{n}{n-1} $$ | ||
לפי אי שיוויון ברנולי, זה גדול או שווה לביטוי הבא: | לפי אי שיוויון ברנולי, זה גדול או שווה לביטוי הבא: | ||
− | + | $$ (1+n(-\frac{1}{n^2})) \cdot \frac{n}{n-1} = \frac{(n-1)n}{n(n-1)} = 1 $$ | |
− | $ (1+n(-\frac{1}{n^2})) \cdot \frac{n}{n-1} = \frac{(n-1)n}{n(n-1)} = 1 $ | + | |
− | + | ||
מכאן שזוהי סדרה מונוטונית עולה. | מכאן שזוהי סדרה מונוטונית עולה. | ||
− | חסומה מלעיל: | + | \underline{חסומה מלעיל:} |
$x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ | $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ | ||
ואם נפתח את הביטוי לפי הבינום של ניוטון נקבל | ואם נפתח את הביטוי לפי הבינום של ניוטון נקבל | ||
− | + | $$x_n=1+\binom{n}{1} \frac{1}{n} + \binom {n}{2} \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{n^n}$$ | |
− | $x_n=1+\binom{n}{1} \frac{1}{n} + \binom {n}{2} \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{n^n}$ | + | |
− | + | ||
איבר טיפוסי בסכום הזה הוא מהצורה | איבר טיפוסי בסכום הזה הוא מהצורה | ||
− | + | $$\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n!}{(n-k)! k!} \frac{1}{n^k} \leq \frac{n^n}{n^{n-k} k!} \frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!} $$ | |
− | $\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n!}{(n-k)! k!} \frac{1}{n^k} \leq \frac{n^n}{n^{n-k} k!} \frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!} $ | + | |
− | + | ||
ולכן | ולכן | ||
+ | $$x_n \leq 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}\leq 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}} $$ | ||
− | + | כל מה שאחרי ה-2 זה סדרה הנדסית אינסופית שסכומה 1 ולכן נקבל ש- $x_n\leq 3$ | |
− | + | ||
− | כל מה שאחרי ה-2 זה סדרה הנדסית אינסופית שסכומה 1 ולכן נקבל ש- $x_n | + | |
אז זוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת. | אז זוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת. | ||
+ | |||
+ | \end{proof} | ||
\subsection{תכונות של $ e $} | \subsection{תכונות של $ e $} | ||
− | \ | + | \begin{thm} |
− | \ | + | $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots + \frac{1}{n!}=e $ |
+ | \end{thm} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ . צריך להראות ש- $e_n\to e $ . אם נשתמש באותה סדרה $x_n$ שהגדרנו אז ראינו בהוכחה של המשפט הקודם ש- $x_n\leq e_n $. מצד שני | ||
− | + | \end{proof} | |
נשים לב שאם נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ אז אם $N>n$ מתקיים | נשים לב שאם נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ אז אם $N>n$ מתקיים | ||
− | $e_N-e_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots \frac{1}{N!}\leq \frac{1}{(n+1)!}+(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots + \frac{1}{(n+2)^{N-n-1}})=\frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{\frac{1}{n+2}((\frac{1}{n+2})^{N-n} - 1)}{\frac{1}{n+2} - 1 } \leq \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{n+2}} = \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ | + | $$e_N-e_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots \frac{1}{N!}\leq \frac{1}{(n+1)!}+(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots + \frac{1}{(n+2)^{N-n-1}})=$$ |
+ | $$\frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{\frac{1}{n+2}((\frac{1}{n+2})^{N-n} - 1)}{\frac{1}{n+2} - 1 } \leq \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{n+2}} = \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ $ | ||
כעת נשתמש בזה בשביל להוכיח: | כעת נשתמש בזה בשביל להוכיח: | ||
− | \ | + | \begin{thm} |
+ | $e\not\in \mathbb{Q} $ | ||
+ | \end{thm} | ||
− | \ | + | \begin{proof} |
נניח $ e=\frac{p}{q} =1+\cdots +\frac{1}{n!}+\alpha_n $ ומכאן $|\alpha_n|<\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ וע"י כפל של 2 האגפים נקבל | נניח $ e=\frac{p}{q} =1+\cdots +\frac{1}{n!}+\alpha_n $ ומכאן $|\alpha_n|<\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ וע"י כפל של 2 האגפים נקבל | ||
+ | $$(n+1)!\frac{p}{q}=(n+1)!(1+\cdots+\frac{1}{n!})+(n+1)!\alpha_n $$ | ||
+ | וזה נכון לכל $n$, בפרט ל- $n>q$ . במקרה זה, אגף שמאל שלם ואגף ימין מורכב ממשהו שהוא שלם ועוד $(n+1)!\alpha_n$ אבל החלק האחרון הזה הוא לא שלם משום שקטן מ- $\frac{1}{n+1} $. אגף שמאל, שהוא שלם הוא סכום של משהו שלם ומשהו שהוא לא שלם. סתירה | ||
+ | \end{proof} | ||
− | + | <tex>קוד:זנב</tex> | |
− | + | </latex2pdf> | |
− | + |
גרסה מ־17:16, 3 בספטמבר 2014