הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:מבחן השורש של קושי להתכנסות טורים"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} נתון הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נסמן $\overline{\lim_{n\to\infty}} \sqrt[n]{a_n} = q $...") |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | \ | + | \begin{thm} נתון הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נסמן $\overline{\lim_{n\to\infty}} \sqrt[n]{a_n} = q $ אזי מתקיים: |
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item אם $q>1 $ (גם אינסופי זה בסדר) הטור מתבדר | ||
− | + | \item אם $q<1 $ אז הטור מתכנס | |
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{thm} | ||
− | + | \begin{proof} | |
− | \ | + | \begin{enumerate} |
− | + | \item גבול עליון הוא גבול חלקי, ולכן קיימת תת סדרה כך ש- | |
+ | $$\exists k_0 \forall k>k_0 : \sqrt[n_k]{a_{n_k}} > 1 $$ | ||
+ | ולכן $\forall k>k_0 : a_{n_k}>1 $ ואז $a_n\not\to 0 $. כלומר הטור לא יכול להתכנס. | ||
− | + | \item | |
+ | $\exists n_0 \forall n>n_0 : \sqrt[n]{a_n} < q' $ עבור $q<q'<1 $ ולכן\\ | ||
+ | $\forall_{n>n_0} a_n < q'^n $ . ממבחן ההשוואה הראשון משום ש- $\sum q'^n $ מתכנס אז גם הטור שלנו. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{proof} | ||
− | + | \begin{example} | |
− | + | כמו במבחן דלאמבר, גם פה הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} $ מתכנס/מתבדר כתלות ב- $p$ אבל הגבול הרצוי ממבחן השורש של קושי הוא 1, מה שמראה שגבול 1 לא מבטיח התכנסות ולא התבדרות. | |
+ | \end{example} |
גרסה מ־12:00, 3 בספטמבר 2014
\begin{thm} נתון הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נסמן $\overline{\lim_{n\to\infty}} \sqrt[n]{a_n} = q $ אזי מתקיים: \begin{enumerate} \item אם $q>1 $ (גם אינסופי זה בסדר) הטור מתבדר
\item אם $q<1 $ אז הטור מתכנס \end{enumerate} \end{thm}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item גבול עליון הוא גבול חלקי, ולכן קיימת תת סדרה כך ש- $$\exists k_0 \forall k>k_0 : \sqrt[n_k]{a_{n_k}} > 1 $$ ולכן $\forall k>k_0 : a_{n_k}>1 $ ואז $a_n\not\to 0 $. כלומר הטור לא יכול להתכנס.
\item
$\exists n_0 \forall n>n_0 : \sqrt[n]{a_n} < q' $ עבור $q<q'<1 $ ולכן\\
$\forall_{n>n_0} a_n < q'^n $ . ממבחן ההשוואה הראשון משום ש- $\sum q'^n $ מתכנס אז גם הטור שלנו. \end{enumerate} \end{proof}
\begin{example} כמו במבחן דלאמבר, גם פה הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} $ מתכנס/מתבדר כתלות ב- $p$ אבל הגבול הרצוי ממבחן השורש של קושי הוא 1, מה שמראה שגבול 1 לא מבטיח התכנסות ולא התבדרות. \end{example}