הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:רציפות במ"ש"

@@ שורה 57: / שורה 57: @@
 \begin{thm}
-אם $f,g$ רבמ"ש ב-$A$ אזי לכל $\alpha,\beta in \mathbb{R} $ מתקיים ש- $\alpha f+ \beta g $ רבמ"ש ב-$A$.
+אם $f,g$ רבמ"ש ב-$A$ אזי לכל $\alpha,\beta \in \mathbb{R} $ מתקיים ש- $\alpha f+ \beta g $ רבמ"ש ב-$A$.
 שימו לב, כפל אינו רציף במ"ש בהכרח, לדוגמא $x^2=x\cdot x$, כאשר הפונקציה משמאל אינה רציפה במ"ש על כל הממשיים, ואילו הפונקציות מימין כן.
@@ שורה 72: / שורה 72: @@
 $$|\alpha f(x_1)+\beta g(x_1)-(\alpha f(x_2)+\beta g(x_2))|\leq |\alpha| \cdot |f(x_1)-f(x_2)| + |\beta| \cdot |g(x_1)-g(x_2)| < |\alpha| \frac{\varepsilon}{2|\alpha|} + \beta \frac{\varepsilon}{2|\beta|} = \varepsilon $$
+\end{proof}
+\begin{thm}
+פונקציה f אינה רציפה במ"ש בקטע A אם"ם קיים זוג סדרות (עם איברים מ-A) המקיימות:
+$|x_n-y_n|\rightarrow 0$
+וגם
+$|f(x_n)-f(y_n)|\not\rightarrow 0$
+\end{thm}
+\begin{proof}
+אם הפונקציה אינה רציפה במ"ש אזי קיים אפסילון גדול מאפס כך שלכל דלתא גדול מאפס יש זוג מספרים בקטע במרחק קטן מדלתא, כך שהפרש התמונות בינהם גדול או שווה לאפסילון.
+ניקח סדרת דלתאות כלשהי השואפת לאפס. הסדרות המורכבות מהזוגות המותאמים לדלתאות מקיימות את הדרוש.
+בכיוון ההפוך, אם יש זוג סדרות כזה, כיוון שסדרת ההפרשים בין התמונות אינה שואפת לאפס יש לה תת סדרה שמתכנסת למספר שונה מאפס (הגבול העליון). תת הסדרות המתאימות של הזוגות יספקו זוג מתאים לכל דלתא, כאשר האפסילון יהיה חצי מגבול סדרת ההפרשים.
+\end{proof}
+\begin{thm}
+אם $f$ רבמ"ש על קטע סופי אזי היא חסומה שם. המשפט ההפוך לא נכון, לדוגמה $f(x)=\sin \frac{1}{x} $ ב- $(0,1) $
+\end{thm}
+\begin{proof}
+נניח הקטע הסופי הוא מהצורה $(a,b) $ (עבור קטעים סופיים אחרים יותר קל). ידוע ש- $f$ רבמ"ש על הקטע אזי
+$$\exists \delta \forall x_1,x_2 : |x_1-x_2|\leq \delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<1 $$
+נקבע $x_0\in (a,b) $ ונסתכל על הסדרה $b_n=x_0+\delta n \to \infty $ ומכאן שלכל $x>x_0 $ קיים $N_x $ כך ש- $x<b_{N_x} $ ואז מתקיים ש-
+$$|f(x)-f(x_0)|=|f(x)-f(b_{N_x -1})+f(b_{N_x -1})-\cdots -f(x_0)| =\leq$$
+$$|f(x)-f(b_{N_x -1})|+|f(b_{N_x -1})-f(b_{N_x -2})| +\cdots + |f(b_1)-f(x_0)| <1+1+\cdots 1 \leq N_x$$
+אבל $N_x \not \to \infty $ כש- $x\to b $, ומכאן שבכל אופן יש איזה $N_b $ מקסימלי ומתקיים ש- $\forall x>x_0 : |f(x)-f(x_0)|<N_b $ . באופן דומה $\forall x<x_0 : |f(x)-f(x_0)|<N_a $
+לכן הפונקציה חסומה מלעיל ע"י $f(x_0)+N_a+N_b $ ומלרע ע"י $f(x_0)-N_a-N_b $
+\end{proof}
+\begin{thm}
+משפט קנטור: פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש
+\end{thm}
+\begin{proof}
+תהי f רציפה על קטע סגור וסופי $[a,b]$. נניח בשלילה שהיא לא רציפה שם במ"ש. לכן קיים אפסילון גדול מאפס, כך שלכל דלתא גדול מאפס, יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות
+$x_n,y_n$ כך שמתקיים $ x_n-y_n\rightarrow 0 $ אבל $|f(x_n)-f(y_n)|\geq \epsilon$
+לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות, יש ל$x_n$ תת סדרה מתכנסת $x_{n_k}$ (כיוון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).
+בנוסף, לתת הסדרה $y_{n_k}$ יש תת סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות מתכנסות המקיימות את התנאים:
+$x'_n-y'_n\rightarrow 0$
+$|f(x'_n)-f(y'_n)|\geq \epsilon$
+אבל כיוון שזה קטע סגור, נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף לאפס). לכן, לפי רציפות,
+$\lim f(x'_n)=\lim f(y'_n)$
+בסתירה.
+\end{proof}
+\begin{thm}
+נניח $f:A\to B $ רבמ"ש ו- $g:B\to \mathbb{R} $ רבמ"ש אזי $h=g\circ f $ רבמ"ש
+\end{thm}
+\begin{proof}
+תהיינה $x_n,y_n $ סדרות של נק' כך ש- $|x_n-y_n|\to 0 $ .
+$f$ רבמ"ש ולכן $|f(x_n)-f(y_n)|\to 0 $ אבל גם $g$ רבמ"ש ולכן $|g(f(x_1))-g(f(x_2))|=|h(x_1)-h(x_2)|\to 0 $ . מהשלילה של אחת הטענות הקודמות נקבל ש- $h$ רבמ"ש.
 \end{proof}
 <tex>קוד:זנב</tex>
 </latex2pdf>

הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:רציפות במ"ש"

גרסה מ־14:59, 31 באוגוסט 2014

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים