הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:רציפות במ"ש"
מתוך Math-Wiki
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | <latex2pdf> | ||
+ | <tex>קוד:ראש</tex> | ||
+ | |||
עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע בנפרד. | עד כה הגדרנו רציפות באופן נקודתי ואמרנו שפונקציה רציפה בקטע אם היא רציפה בכל נקודה בקטע בנפרד. | ||
שורה 5: | שורה 8: | ||
\begin{definition} | \begin{definition} | ||
פונקציה f נקראת רציפה במידה שווה (רציפה במ"ש) בקטע A אם: | פונקציה f נקראת רציפה במידה שווה (רציפה במ"ש) בקטע A אם: | ||
− | + | $$\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall x_1,x_2\in A : |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$$ | |
− | + | ||
− | + | ||
שימו לב כי ברציפות רגילה בקטע A, לכל נקודה בקטע ההתאמה של הדלתא לאפסילון עשוייה להיות שונה. כאשר הפונקציה רציפה במ"ש, לכל אפסילון יש דלתא המתאים לכל הקטע A. | שימו לב כי ברציפות רגילה בקטע A, לכל נקודה בקטע ההתאמה של הדלתא לאפסילון עשוייה להיות שונה. כאשר הפונקציה רציפה במ"ש, לכל אפסילון יש דלתא המתאים לכל הקטע A. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
\end{definition} | \end{definition} | ||
\begin{example} | \begin{example} | ||
− | + | הפונקציה $f(x)=x$ רציפה במ"ש על כל ציר הממשיים.\\ | |
− | + | ||
אכן, לכל אפסילון ניקח דלתא שווה לאפסילון ונקבל כי $|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1-x_2|<\delta=\epsilon$ | אכן, לכל אפסילון ניקח דלתא שווה לאפסילון ונקבל כי $|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1-x_2|<\delta=\epsilon$ | ||
− | |||
\end{example} | \end{example} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | \begin{example} | ||
+ | לפעמים פונקציה מסויימת עשוייה להיות רציפה במ"ש בקטע מסויים אך לא רציפה במ"ש בקטע אחר. | ||
+ | ראשית, נביט ב $ f(x)=x^2 $ על הקטע הסופי $(a,b)$. יהי $\varepsilon>0$, אזי: | ||
+ | $$|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|\leq |x_1-x_2|\cdot 2\max\{|a|,|b|\}$$ | ||
+ | כעת, אם ניקח $\delta = \frac{\epsilon}{2\max\{|a|,|b|\}}$ נקבל שהפונקציה רבמ"ש בתחום.\\ | ||
עכשיו, נבחן את אותה הפונקציה $f(x)=x^2$ על כל הממשיים, ונוכיח כי היא אינה רציפה שם במ"ש. | עכשיו, נבחן את אותה הפונקציה $f(x)=x^2$ על כל הממשיים, ונוכיח כי היא אינה רציפה שם במ"ש. | ||
− | + | ניקח $\epsilon=1$. צריך להוכיח כי לכל $\delta>0$ קיים זוג מספרים ממשיים המקיימים $|x_1-x_2|<\delta$ וגם $|f(x_1)-f(x_2)|\geq 1$.\\ | |
− | ניקח $\epsilon=1$. צריך להוכיח כי לכל $\delta>0$ קיים זוג מספרים ממשיים המקיימים $|x_1-x_2|<\delta$ וגם $|f(x_1)-f(x_2)|\geq 1$. | + | |
− | + | ||
− | + | ||
ניקח $x_2=x_1+\frac{\delta}{2}$ ונראה כי אם נבחר את $x_1$ להיות גדול מספיק, נקבל את הדרוש. ברור כי $|x_1-x_2|=\frac{\delta}{2}<\delta$ | ניקח $x_2=x_1+\frac{\delta}{2}$ ונראה כי אם נבחר את $x_1$ להיות גדול מספיק, נקבל את הדרוש. ברור כי $|x_1-x_2|=\frac{\delta}{2}<\delta$ | ||
− | + | $$|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|=\frac{\delta}{2}|2x_1+\frac{\delta}{2}|$$ | |
− | + | ||
− | $|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|(x_1-x_2)(x_1+x_2)|=\frac{\delta}{2}|2x_1+\frac{\delta}{2}|$ | + | |
− | + | ||
ברור שאם נגדיל את $x_1$ מספיק נקבל את הדרוש. | ברור שאם נגדיל את $x_1$ מספיק נקבל את הדרוש. | ||
− | \ | + | \end{example} |
\begin{thm} | \begin{thm} | ||
שורה 50: | שורה 35: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | יהי $x_0 \in A $ , נרצה להראות ש- $f$ רציפה בו. כלומר $\forall \varepsilon>0 \exists \delta \forall x : |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon $ | + | יהי $x_0 \in A $ , נרצה להראות ש- $f$ רציפה בו. כלומר |
+ | $$\forall \varepsilon>0 \exists \delta \forall x : |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon $$ | ||
+ | אבל ידוע מהנתון שלכל אפסילון קיים דלתא כך שהתנאי נכון לכל $x_1,x_2 $ שמרחקם זה מזה קטן מ- $\delta $ , בפרט ל- $x,x_0 $ . | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
שורה 68: | שורה 55: | ||
נגדיר $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2 \} $ . יהיו $x_1,x_2 $ כך ש- $|x_1-x_2|<\delta $ . נראה כי | נגדיר $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2 \} $ . יהיו $x_1,x_2 $ כך ש- $|x_1-x_2|<\delta $ . נראה כי | ||
− | $$|\alpha f(x_1)+\beta g(x_1)-(\alpha f(x_2)+\beta g(x_2))|\leq |\alpha| \cdot |f(x_1)-f(x_2)| + |\beta| \cdot |g(x_1)-g(x_2)| < |\alpha| \frac{\varepsilon}{2|\alpha|} + \beta \frac{\varepsilon}{2|\beta|} = \varepsilon $$ | + | $$|\alpha f(x_1)+\beta g(x_1)-(\alpha f(x_2)+\beta g(x_2))|\leq |\alpha| \cdot |f(x_1)-f(x_2)| + |\beta| \cdot |g(x_1)-g(x_2)| <$$ $$|\alpha| \frac{\varepsilon}{2|\alpha|} + \beta \frac{\varepsilon}{2|\beta|} = \varepsilon $$ |
\end{proof} | \end{proof} | ||
שורה 97: | שורה 84: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | נניח | + | נניח בשלילה ש- $f$ לא חסומה מלעיל, ועבור חסומה מלרע ההוכחה דומה. מההנחה מתקיים |
+ | $$\forall n\in \mathbb{N} \exists x_n : x_n >n$$ | ||
+ | נניח בה"כ שהמרחק בין איברי $x_n$ גדול או שווה ל-1, משום שאם זה לא המצב אפשר לקחת תת סדרה שתקיים את זה. | ||
+ | כיוון ש- $x_n$ סדרה חסומה (מוכלת בקטע סופי) יש לה תת סדרה מתכנסת $y_k=x_{n_k} $ . כעת נסתכל על הסדרה $y_k$ ועל הסדרה $y_{k+1} $ , כיוון שהסדרות מתכנסות לאותו דבר, $|y_{k+1}-y_k |\to 0 $ אבל מצד שני $|f(y_{k+1})-f(y_k)|\geq 1 $ , ולכן הפונקציה לא רבמ"ש. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
\end{proof} | \end{proof} | ||
שורה 228: | שורה 209: | ||
בעתיד, כשנלמד על נגזרות נראה שיש עוד דרך להוכיח רציפות במ"ש. | בעתיד, כשנלמד על נגזרות נראה שיש עוד דרך להוכיח רציפות במ"ש. | ||
+ | |||
+ | <tex>קוד:זנב</tex> | ||
+ | </latex2pdf> |
גרסה מ־16:43, 23 בספטמבר 2014