הבדלים בין גרסאות בדף "סיווג נקודה חשודה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
שורה 6: שורה 6:
 
==סיווג נקודות חשודות==
 
==סיווג נקודות חשודות==
 
'''משפט:''' תהי <math>f</math> פונקציה הגזירה '''ברציפות''' <math>n+1</math> פעמים בסביבת הנקודה <math>a</math> . עוד נניח כי  
 
'''משפט:''' תהי <math>f</math> פונקציה הגזירה '''ברציפות''' <math>n+1</math> פעמים בסביבת הנקודה <math>a</math> . עוד נניח כי  
−
:<math>f'(a)=f''(a)=\ldots=f^{(n)}(a)=0</math>
+
:<math>f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0</math>
  
 
:<math>f^{(n+1)}(a)\ne 0</math>
 
:<math>f^{(n+1)}(a)\ne 0</math>
שורה 16: שורה 16:
  
 
==='''הוכחה:'''===
 
==='''הוכחה:'''===
−
לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:
+
לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] לכל <math>x</math> בסביבה קיימת נקודה <math>c</math> בין <math>x</math> לבין <math>a</math> כך ש:
  
 
:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
 
:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
שורה 36: שורה 36:
 
אם <math>n+1</math> אי-זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של <math>a</math> ושלילי משמאלה.
 
אם <math>n+1</math> אי-זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של <math>a</math> ושלילי משמאלה.
  
−
כיון שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע בסביבה של <math>a</math>, סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math>.
+
כיון שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע בסביבה של <math>a</math> , סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math> .
  
−
אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- <math>a</math> ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math>, ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן <math>a</math> הנה '''[[נקודת פיתול]]'''.
+
אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- <math>a</math> ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math> , ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן <math>a</math> הנה '''[[נקודת פיתול]]'''.

גרסה מ־12:40, 4 בנובמבר 2016


הגדרת נקודה חשודה

תהי f פונקציה ממשית. נקודה x בתחום ההגדרה של f נקראת חשודה אם f'(x)=0 או שהנגזרת אינה מוגדרת ב- x .

סיווג נקודות חשודות

משפט: תהי f פונקציה הגזירה ברציפות n+1 פעמים בסביבת הנקודה a . עוד נניח כי

f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0
f^{(n+1)}(a)\ne 0

אזי:

הוכחה:

לפי טיילור לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

אבל לפי ההנחה כי n הנגזרות הראשונות מתאפסת ב- a, מתקיים

f(x)-f(a)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

לכן, אם n+1 זוגי וגם f^{(n+1)}(a)>0 לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבה של a בה f^{(n+1)}>0 ולכן לכל x בסביבה זו מתקיים:

f(x)-f(a)\ge 0

שכן (x-a)^{(n+1)}\ge 0 תמיד עבור n+1 זוגי.

כלומר אם f^{(n+1)}(a)>0 אזי x הנה נקודת מינימום.

באופן דומה, אם f^{(n+1)}(a)<0 אזי x הנה נקודת מקסימום.

אם n+1 אי-זוגי, אזי הסימן של (x-a)^{(n+1)} חיובי בסביבה ימנית של a ושלילי משמאלה.

כיון שסימן f^{(n+1)} קבוע בסביבה של a , סה"כ מצד אחד f(x)>f(a) ומהצד השני f(x)<f(a) .

אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- a ולכן המשיק הוא y=f(a) , ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן a הנה נקודת פיתול.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=סיווג_נקודה_חשודה&oldid=68124