הבדלים בין גרסאות בדף "משפט לייבניץ"
מתוך Math-Wiki
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 3: | שורה 3: | ||
*הטור <math>\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס | *הטור <math>\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס | ||
− | *השארית <math>R_k=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n-\sum\limits_{n=1}^k (-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\le a_{k+1}</math> | + | *השארית <math>R_k=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^na_n-\sum\limits_{n=1}^k(-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\le a_{k+1}</math> |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס. | נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס. | ||
− | יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math>. | + | יהי <math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- <math>\epsilon</math> . |
*<math>\Big|S_m-S_n\Big|=\Bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Bigg|=\Bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Bigg|</math> | *<math>\Big|S_m-S_n\Big|=\Bigg|(-1)^ma_m+\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\Bigg|=\Bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-\cdots\Bigg|</math> |
גרסה מ־12:44, 4 בנובמבר 2016
משפט לייבניץ לטורים עם סימנים מתחלפים
תהי סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי:
- הטור מתכנס
- השארית מקיימת
הוכחה
נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.
יהי , צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני אברים קטן מ- .
נראה כי כל אבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה:
לכן
כלומר
וכן הלאה עד שנקבל
וכיון ש- שואפת לאפס, החל ממקום מסוים זה קטן מ- (ללא תלות ב- ).
לפי טיעון דומה, ולכן
כפי שרצינו.