הבדלים בין גרסאות בדף "אינטגרל לא מסויים/דוגמאות"
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 109: | שורה 109: | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | + | נעזר באינטגרציה בחלקים. | |
− | <math>\int\frac{\arctan(e^{x})}{e^{x}}dx=\int\arctan(e^{x})e^{-x}dx=\begin{Bmatrix}du=e^{-x}dx\Rightarrow u=-e^{-x}\\ v=\arctan(e^{x})\Rightarrow dv=\frac{e^ | + | <math>\int\frac{\arctan(e^{x})}{e^{x}}dx=\int\arctan(e^{x})e^{-x}dx=\begin{Bmatrix}du=e^{-x}dx\Rightarrow u=-e^{-x}\\ v=\arctan(e^{x})\Rightarrow dv=\frac{e^x}{1+e^{2x}}dx\end{Bmatrix}=-e^{-x}\arctan(e^x)+\int\frac{dx}{1+e^{2x}}</math> |
פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר: | פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר: | ||
שורה 142: | שורה 142: | ||
==8== | ==8== | ||
− | |||
אחד קליל מהחוברת של בועז (:, | אחד קליל מהחוברת של בועז (:, | ||
− | <math>\int \frac{ | + | <math>\int\frac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{x}dx</math> |
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
+ | נעזר באינטגרציה בחלקים: | ||
− | <math>\ | + | <math>\begin{Bmatrix}u=-\ln(x)\\dv=\frac{1}{x}\end{Bmatrix}\qquad\int\frac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{x}dx={\color{blue}-\int\frac{\ln(x)}{x}dx=-\ln^2(x)+\int\frac{\ln(x)}{x}dx}</math> |
− | + | קיבלנו: | |
− | <math>\int \frac{ | + | <math>-2\int\frac{\ln(x)}{x}dx=-\ln^2(x)</math> |
− | + | לבסוף: | |
− | + | <math>\int\frac{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}{x}dx=-\frac{\ln^2(x)}{2}+C</math> | |
− | <math>\int \frac{ | + | ==9== |
+ | <math>\int\frac{\arcsin(x)}{x^2}dx</math> | ||
+ | |||
+ | ===פתרון=== | ||
+ | ראשית נפעיל אינטגרציה בחלקים כאשר: <math>v=\arcsin(x)\ ,\ du=\dfrac{dx}{x^2}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\int\frac{\arcsin(x)}{x^2}dx=-\frac{\arcsin(x)}{x}+\int\frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}</math> | ||
שורה 180: | שורה 186: | ||
<math>\int x^2\sqrt{a^2-x^2}dx</math> | <math>\int x^2\sqrt{a^2-x^2}dx</math> | ||
− | + | נציב <math>x=a\sin(u)\ ,\ dx=a\cos(u)du</math> | |
+ | |||
+ | |||
+ | <math>\int x^2\sqrt{a^2-x^2}dx=\int a^2\sin^2(u)\sqrt{a^2-a^2\sin^2(u)}a\cos(u)du=a^4\int\big(\sin(u)\cos(u)\big)^2du</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>=\dfrac{a^4}{4}\int\sin^2(2u)du=\dfrac{a^4}{4}\int\frac{1-\cos(4u)}{2}du=\dfrac{a^4}{8}\left(\int du-\int\cos(4u)du\right)=\dfrac{a^4}{8}\left(u-\dfrac{\sin(4u)}{4}\right)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>=\dfrac{a^4\big(u-\sin(u)\cos(u)\cos(2u)\big)}{8}+C</math> | ||
+ | |||
+ | מההצבה הראשונית מתקבל: | ||
+ | |||
+ | <math>x=a\sin(u)\Rightarrow u=\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)</math> | ||
+ | |||
+ | לבסוף: | ||
+ | |||
+ | <math>\int x^2\sqrt{a^2-x^2}dx=\dfrac{a^4\arcsin\left(\frac{x}{a}\right)+x(2x^2-a^2)\sqrt{a^2-x^2}}{8}+C</math> | ||
==11== | ==11== | ||
<math>\int x^2\sqrt{a^2+x^2}dx</math> | <math>\int x^2\sqrt{a^2+x^2}dx</math> | ||
− | הצבה היפרבולית <math>x= | + | הצבה היפרבולית <math>x=a\sinh(t)</math> |
[http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function נוסחאות לפונקציות היפרבוליות] | [http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function נוסחאות לפונקציות היפרבוליות] |
גרסה מ־10:28, 2 בנובמבר 2016
תוכן עניינים
1
2
פתרון
- השלמה לריבוע והצבה ראשונה
הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי:
ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: , וכמובן קל להבין כי .
- פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה)
ניעזר בתכונות של ושל :
וכן בזהות:
- הצבה שניה
נציב:
ולהחזיר את t ל-x, אני משאיר לכם (:
3
האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה)
פתרון
- יש טעות בהצבה של , שכן
- אבל צריך לקחת בחשבון גם את ה-dt
- צודק. נראה לי שאם אני לא ראיתי את זה, גם אחרים לא יראו ;)
- אבל צריך לקחת בחשבון גם את ה-dt
4
בדומה לאינטגרל הקודם, לקוח מבועז צבאן (1.27)
דרך א'
א. ניתן להשתמש בהצבת אוילר, אבל אנחנו ננקוט בטקטיקה שונה.
הצבה ראשונה:
הצבה שניה:
ואם נחזור לחישוב האינטגרל,
ומכאן מעבירים את t ל-x.
דרך ב'
ההצבה הראשונה נשארת כפי שהייתה, אך הפעם לא נעשה הצבה שניה אלא נשתמש באינטגרציה בחלקים:
כעת נוכל להבחין כי מתקיים:
כעת נביט רק על האינטגרל הראשון ונציב:
אם נחזור לאינטגרל המקורי נקבל:
וסיימנו (:
5
אינטגרל חביב שנלקח ממבחן בחדו"א בב"ג (של מדעי המחשב)
כאשר .
פתרון
הכוונה היא עבור , עבור תסתכלו בדוגמא הראשונה.
6
פתרון
נעזר באינטגרציה בחלקים.
פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר:
לבסוף:
7
פתרון
נעשה את ההצבה הבאה:
מההצבה הראשונית מתקבל:
לבסוף (אחרי פענוח):
8
אחד קליל מהחוברת של בועז (:,
פתרון
נעזר באינטגרציה בחלקים:
קיבלנו:
לבסוף:
9
פתרון
ראשית נפעיל אינטגרציה בחלקים כאשר:
כעת נחשב את האינטגרל השני שקיבלנו:
וכעת ניעזר בהצבה האוניברסלית כדי למצוא את האינטגרל החדש:
כרגיל להחזיר ולהנות (:
10
נציב
מההצבה הראשונית מתקבל:
לבסוף:
11
הצבה היפרבולית
12
פתרון
פתרון (יותר מוצלח כמסתבר)
להציב
13
פתרון (לא מלא)
זה לקח לי שני עמודים בכתב יד, זה נורא (אני בטוח שיש פתרון יותר חכם)
הצבה 1:
הצבה 2:
אח"כ צריך לשחק עם מה שמקבלים (לפי תכונות של קוסינוס וסינוס היפרבולי), ואז להעביר את זה לייצוג המקורי.
ואז, הצבה 3:
מכאן זו פונקציה רצינואלית של ליניארי חלקי פולינום ממעלה 2, זה לא בעיה בהשוואה למה שהלך למעלה.
במקרה הכי גרוע, תהיה הצבה 4.
14
פתרון
כעת נציב:
15
פתרון
(קרדיט מלא לסורקין) תוקן! סורקין לא סרוקין ולא צריך קרדיט...
כעת נתמקד באינטגרל הראשון, נפעיל אינטגרציה בחלקים:
ונשים לב כי מתקיים (באופן די מגניב):
16
פתרון
הצבה
לאחר מכן הצבה טריגונומטרית
ולאחר מכן ההצבה האוניברסאלית של טאנגנס חצי זוית
17
אם הינו אי זוגי, אזי:
נבצע את ההצבה לקבל
וזה פתיר וקל.
כעת, נניח כי זוגי:
וזו בעייה במעלה נמוכה יותר של אינטגרל על קוסינוס
אם k אי זוגי אז פותרים באופן דומה להתחלה, ואם לא שוב מקטינים את החזקה על ידי זהות זוית כפולה של קוסינוס.