הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1"
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 115: | שורה 115: | ||
*<math>|x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|>2x</math> | *<math>|x^2-4x-3|+|x-1|+|x-2|>2x</math> | ||
− | הביטוי הריבועי מתאפס ב- <math>2\pm\sqrt7</math> . נחלק למקרים: | + | הביטוי הריבועי מתאפס ב- <math>x=2\pm\sqrt7</math> . נחלק למקרים: |
<math>x\le2-\sqrt7</math> : <math>x<0</math> או <math>x>8</math> לכן סה"כ <math>x\le2-\sqrt7</math> | <math>x\le2-\sqrt7</math> : <math>x<0</math> או <math>x>8</math> לכן סה"כ <math>x\le2-\sqrt7</math> | ||
שורה 140: | שורה 140: | ||
נפריד למקרים: | נפריד למקרים: | ||
− | <math>x<0</math> : במקרה זה אי השוויון הוא <math>-x + x | + | <math>x<0</math> : במקרה זה אי-השוויון הוא <math>-x + x\le0</math> והוא תמיד מתקיים |
− | <math>0 \ | + | <math>0\le x\le1</math> : אי-השוויון הוא <math>x+x\le0</math> והוא מתקיים עבור <math>x\le0</math> לכן הפתרון הוא <math>x=0</math> |
− | <math> | + | <math>x>1</math> : אי-השוויון הוא <math>x-1\le0</math> לכן הפתרון הוא <math>x\le1</math> ולכן אין פתרון |
− | פתרון: <math>x \ | + | פתרון: <math>x\le0</math> |
− | * <math>f(x+1)>0</math> | + | *<math>f(x+1)>0</math> |
− | <math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}</math> | + | <math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases}</math> |
נפריד למקרים: | נפריד למקרים: | ||
− | <math>x>-1</math> : אי השוויון הוא <math>(x+1)^2 > 0</math> וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל <math>x>-1</math> | + | <math>x>-1</math> : אי-השוויון הוא <math>(x+1)^2>0</math> וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל <math>x>-1</math> |
<math>x=-1</math> : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון | <math>x=-1</math> : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון | ||
− | <math>x<-1</math> : אי השוויון הוא <math>-(x+1)^2 > 0</math> וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום | + | <math>x<-1</math> : אי-השוויון הוא <math>-(x+1)^2>0</math> וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום |
− | פתרון: <math>x > -1</math> | + | פתרון: <math>x>-1</math> |
− | * <math>g\big(f(x)\ | + | *<math>g\big(f(x)\big)\ge0</math> |
− | נשים לב שמתקיים: <math>g(x) \ | + | נשים לב שמתקיים: <math>g(x)\ge0</math> לכל <math>x</math> : |
<math>x<0</math> : <math>g(x)=0</math> | <math>x<0</math> : <math>g(x)=0</math> | ||
− | <math>0 \ | + | <math>0\le x\le1</math> : <math>g(x)=2x\ge0</math> |
− | <math>x > 1</math> : <math>g(x) = x-1 \ | + | <math>x>1</math> : <math>g(x)=x-1\ge0</math> |
− | לכן גם מתקיים <math>g(f(x)) \ | + | לכן גם מתקיים <math>g\big(f(x)\big)\ge0</math> לכל <math>x</math> |
− | * <math>f(x+1) +g(x-1) > x</math> | + | *<math>f(x+1)+g(x-1)>x</math> |
− | ::<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}</math> | + | ::<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases}</math> |
+ | ::<math>g(x-1)=\begin{cases}x-2&x>2\\2x-2&1\le x\le2\\0&x<1\end{cases}</math> | ||
− | + | <math>x<-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x</math> . הפתרון הוא <math>-\dfrac{3+\sqrt5}{2}<x<-1</math> | |
− | <math>x | + | <math>x=-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=0>-1</math> לכן זה פתרון. |
− | <math> | + | <math>-1<x<1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2>x</math> . נכון לכל <math>x</math> . |
− | <math> | + | <math>1\le x\le2</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+2x-2>x</math> . כל התחום הוא פתרון |
− | <math> | + | <math>x>2</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+x-2>x</math> . גם כאן כל התחום הוא פתרון |
− | <math> | + | פתרון: <math>x>-\dfrac{3+\sqrt5}{2}</math> |
− | |||
+ | *<math>|g(x^2)-f(x)|<x</math> | ||
+ | ::<math>g(x^2)=\begin{cases}x^2-1&x<-1\or1<x\\2x^2&-1\le x\le1\end{cases}</math> | ||
− | + | <math>x<-1</math> : <math>|g(x^2)-f(x)|=|x^2-1+x^2|=|2x^2-1|<x</math> . | |
− | + | ||
− | + | כיון שאנחנו בתחום <math>x<-1</math> נקבל שהביטוי תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: <math>2x^2-1<x</math> . | |
− | <math>-1 \ | + | לאי-שוויון זה אין פתרון בתחום <math>-1\le x<0</math> . נקבל <math>|2x^2+x^2|=|3x^2|=3x^2<x</math> ואין לזה פתרון בתחום <math>x=0</math> . נציב ונקבל שזה לא פתרון |
− | <math>x = 0</math> | + | <math>0<x\le1</math> : נקבל <math>|2x^2-x^2|=x^2<x</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math> |
− | <math> | + | <math>x>1</math> : נקבל <math>|x^2-1-x^2|=1<x</math> והפתרון הוא כל התחום |
− | |||
− | + | פתרון: <math>0<x<1</math> או <math>x>1</math> | |
− | פתרון: <math>0 < x < 1 </math> או <math> | + |
גרסה אחרונה מ־18:46, 18 במאי 2017
1
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס.
לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד .
המקדם של חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב- וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף ).
פתרון:
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- .
אם נפתח סוגריים נקבל והמקדם של שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר או , וערכים חיוביים כאשר .
פתרון:
נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל
המקדם של שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.
פתרון:
נפרק לשלושה ביטויים: ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
: ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה אין פתרון ממשי)
: מתאפס ב- . הביטוי שלילי ביניהם וחיובי כאשר או
: מתאפס ב-0 וחיובי אחרת.
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
בנקודות הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי-השוויון.
פתרון:
כאשר . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של .
השאלה היא מתי מכפלה של גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר מספר שלם בין 1 ל- , הביטוי מתאפס ולכן זה איננו פתרון.
לכן אנחנו מתעניינים בתחומים . בתחום האחרון כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:
זוגי: אם כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה עבור . אם זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי-זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.
לכן התשובה עבור זוגי היא:
עבור אי-זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:
נחלק למקרים: אם נקבל את אי-השוויון ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם
אם נקבל וסה"כ הפתרונות הם
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב- לכן נתבונן במקרים:
: אי-השוויון הוא לכן . התשובה היא
: אי-השוויון הוא לכן . התשובה היא . נאחד את הפתרונות ונקבל:
פתרון:
נחלק למקרים:
: אי-השוויון הוא . נפשט ונקבל . ביטוי זה חיובי כאשר או (בדקו!). לכן הפתרון הוא
: אי-השוויון הוא . נפשט ונקבל . הביטוי משמאל תמיד חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון:
נשים לב שלביטוי אין ערך ב- . אם נקבל וזה לא יתכן. אם נקבל וגם זה לא יתכן.
פתרון: אף לא מקיים את אי-השוויון
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור או .
: נקבל אי-שוויון . נפשט ונקבל והפתרון של זה הוא . סה"כ:
: נקבל אי-שוויון ואחרי פישוט: . הפתרון הוא או לכן סה"כ: .
: נקבל . נפשט ונקבל והפתרון הוא . לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון:
הביטוי הריבועי מתאפס ב- . נחלק למקרים:
: או לכן סה"כ
: . לכן סה"כ:
: . לכן סה"כ:
: . לכן סה"כ:
: או . לכן סה"כ:
פתרון: או
2
נגדיר שתי פונקציות
מצא עבור אילו ערכי מתקיימים אי-השוויונות הבאים:
נפריד למקרים:
: במקרה זה אי-השוויון הוא והוא תמיד מתקיים
: אי-השוויון הוא והוא מתקיים עבור לכן הפתרון הוא
: אי-השוויון הוא לכן הפתרון הוא ולכן אין פתרון
פתרון:
נפריד למקרים:
: אי-השוויון הוא וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל
: ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון
: אי-השוויון הוא וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום
פתרון:
נשים לב שמתקיים: לכל :
:
:
:
לכן גם מתקיים לכל
: . הפתרון הוא
: לכן זה פתרון.
: . נכון לכל .
: . כל התחום הוא פתרון
: . גם כאן כל התחום הוא פתרון
פתרון:
: .
כיון שאנחנו בתחום נקבל שהביטוי תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: .
לאי-שוויון זה אין פתרון בתחום . נקבל ואין לזה פתרון בתחום . נציב ונקבל שזה לא פתרון
: נקבל והפתרון הוא
: נקבל והפתרון הוא כל התחום
פתרון: או