הבדלים בין גרסאות בדף "מד"ר - משוואות דיפרנציאליות רגילות - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(←המשוואה y'=r\cdot y) |
(←הרצאה 1 הקדמה) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | ==הרצאה 1 הקדמה== | + | ==הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה== |
*משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה. | *משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה. | ||
שורה 54: | שורה 54: | ||
*על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0. | *על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0. | ||
*שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון '''יחיד'''. | *שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון '''יחיד'''. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===סדר ומעלה=== | ||
+ | |||
+ | *משוואה דיפרנציאלית נקראת '''מסדר''' n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n. | ||
+ | **המשוואה <math>y''=g</math> היא משוואה מסדר שני. | ||
+ | **המשוואה <math>y'=ry</math> היא משוואה מסדר ראשון. | ||
+ | *משוואה דיפרנציאלית נקראת '''ממעלה''' n אם הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר היא ממעלה n. | ||
+ | **המשוואה <math>(y''')^2+(y')^5=y+sin(t)</math> היא מסדר 3 ומעלה 2. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===משוואות פרידות=== | ||
+ | |||
+ | *משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה <math>y'=f(y)g(x)</math>. | ||
+ | *נהוג גם להחליף <math>y'=\frac{dy}{dx}</math> ולכן המשוואה תרשם כך <math>dy=f(y)g(x)dx</math>. | ||
+ | *לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה <math>f(y)g(x)dy +h(y)r(x)dx=0</math>, כלומר <math>y'=-\frac{h(y)r(x)}{f(y)g(x)}</math>. |
גרסה מ־12:06, 4 במרץ 2018
תוכן עניינים
הרצאה 1 הקדמה ומשוואה פרידה
- משוואה דיפרנציאלית מכילה את המשתנה, הפונקציה ונגזרותיה.
- בחקירת פונקציות, במציאת תחומי עלייה וירידה, אנו פותרים את המשוואה . האם זו משוואה דיפרנציאלית?
- לא, כיוון שבמשוואות דיפרנציאלית אנו מחפשים פונקציה שמקיימת את המשוואה לכל ערך של המשתנה.
- כאן הפונקציה נתונה, ואנו מחפשים ערך של המשתנה שמקיים את המשוואה.
נפילה חופשית
- גוף הנופל חופשית נופל בתאוצה שבקירוב היא קבועה .
- נסמן ב את הגובה של הגוף (כאשר הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ)
- היא המהירות
- היא התאוצה.
- לכן על מנת לדעת את מיקומו של הגוף בכל נקודה בזמן, עלינו לפתור את המשוואה , הרי התאוצה קבועה.
- לכן
- לכן
- כיצד נחשב את הקבועים? לפי תנאי ההתחלה.
- נסמן את הגובה ההתחלתי בתור 0 (נזכור כי הכיוון החיובי הוא לכיוון כדור הארץ). ולכן ולכן
- נניח כי המהירות ההתחלתית גם היא הייתה 0 ולכן ולכן גם .
ריבית דריבית
- נניח שסכום הכסף בבנק לאורך זמן מתואר על ידי הפונקציה .
- נניח שאנו מרוויחים תשואה של 2 אחוז בשנה, לכן לאחר שנה יתקיים כי .
- אבל מה היה קורה אילו הבנק היה משלם את הריבית פעם בחצי שנה?
- בחצי השנה הראשונה נקבל מחצית מהריבית
- ובחצי השנה השנייה נקבל מחצית מהריבית, אך סכום הקרן שלנו כבר גדל
- סה"כ
- זה גדול יותר מהריבית השנתית, כיוון שצברנו ריבית על הקרן וגם על הריבית החצי שנתית.
- האם יש דרך להפוך את התהליך לרציף?
- כלומר, בהנתן שתי נקודות זמן קרובות אנו מעוניינים לקבל את הריבית היחסית על הזמן שעבר:
- נעביר אגף ונחלק
- אם נשאיף נקבל כי
- כלומר אנו מעוניינים בפונקציה שמקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית כאשר היא הריבית השנתית.
המשוואה
- בהמשך הקורס נעסוק בשאלה האם למשוואה דיפרנציאלית יש פתרון, וכמה פתרונות יש למשוואה.
- מידי פעם נחזור ונפתור את המשוואה הזו בכלים שונים.
- כעת נשים לב כי:
- כיוון שהנגזרת שווה אפס הפונקציה קבועה
- סה"כ
- על מנת לחשב את הקבוע C עבור המקרה של ריבית דריבית, עלינו לדעת כמה כסף היה בחשבון בזמן t=0.
- שימו לב שלכל תנאי התחלה קיבלנו פתרון יחיד.
סדר ומעלה
- משוואה דיפרנציאלית נקראת מסדר n אם הנגזרת הגבוהה ביותר היא מסדר n.
- המשוואה היא משוואה מסדר שני.
- המשוואה היא משוואה מסדר ראשון.
- משוואה דיפרנציאלית נקראת ממעלה n אם הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר היא ממעלה n.
- המשוואה היא מסדר 3 ומעלה 2.
משוואות פרידות
- משוואה דיפרנציאלית נקראת פרידה אם היא מהצורה .
- נהוג גם להחליף ולכן המשוואה תרשם כך .
- לבסוף, אם נזהר עם חלוקה באפס, משוואה פרידה באופן כללי יכולה להיות מהצורה , כלומר .