הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1"
(←נורמה) |
(←תכונות הנורמה) |
||
שורה 28: | שורה 28: | ||
===תכונות הנורמה=== | ===תכונות הנורמה=== | ||
+ | |||
+ | 1. כפליות: <math>\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|zz_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|</math>. | ||
+ | |||
+ | 2. אי שליליות: <math>\forall z\in \mathbb{C}:|z|\geq 0</math>, ומתקיים: <math>|z|=0\iff z=0</math>. | ||
+ | |||
+ | 3. אי שיוויון המשולש: <math>\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1+z_2|\seq |z_1|+|z_2|</math>. |
גרסה מ־08:39, 9 באוקטובר 2018
הגדרה
כידוע אין שורש ממשי למספר . כלומר .
בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל : שדה המספרים המרוכבים!
אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? בעצם מה שאנחנו צריכים להגדיר כאן זה שלושה דברים:
1. האיברים עצמם - המספרים המרוכבים.
2. איך לחבר ביניהם.
3. איך להכפיל ביניהם.
נסמן ב איבר מסויים, ונגדיר . במילים אחרות . המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה כאשר . כלומר, . שימו לב שכמובן שהמספרים הממשיים מוכלים במרוכבים, פשוט לוקחים .
חיבור: .
כפל: .
לדוגמא: נסמן . נקבל: , וכן .
נורמה
במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה המוגדרת ע"י: . מאיפה הגיעה הפונקציה הזו? אם נתבונן על המספרים המרוכבים במערכת צירים נוכל לשים לב שהנורמה היא המרחק (האוקלידי) מראשית הצירים. דוגמאות נחמדות כיד המתרגל הטובה עליו.
תכונות הנורמה
1. כפליות: .
2. אי שליליות: , ומתקיים: .
3. אי שיוויון המשולש: עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \seq לא מוכרת): \forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1+z_2|\seq |z_1|+|z_2| .