הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1"
(←תרגיל) |
(←תרגיל) |
||
שורה 88: | שורה 88: | ||
====תרגיל==== | ====תרגיל==== | ||
− | מצאו מספר מרוכב <math>z</math> המקיים: | + | מצאו מספר מרוכב <math>z</math> המקיים: <math>|z|=5,Im(z)=2</math>, ומקמו אותו על במישור המרוכב. |
− | + | ||
− | <math>|z|=5,Im(z)=2</math> | + | |
'''פתרון:''' נסמן <math>z=a+bi</math>, לכן <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}=5\Rightarrow a^2+b^2=25</math>. בנוסף, <math>b=Im(z)=2</math>, ולכן <math>a^2=25-4\Rightarrow a=\pm \sqrt{21}</math>. | '''פתרון:''' נסמן <math>z=a+bi</math>, לכן <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}=5\Rightarrow a^2+b^2=25</math>. בנוסף, <math>b=Im(z)=2</math>, ולכן <math>a^2=25-4\Rightarrow a=\pm \sqrt{21}</math>. |
גרסה מ־09:45, 15 באוקטובר 2018
תוכן עניינים
הגדרה
כידוע אין שורש ממשי למספר . כלומר .
בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל : שדה המספרים המרוכבים!
אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? בעצם מה שאנחנו צריכים להגדיר כאן זה שלושה דברים:
1. האיברים עצמם - המספרים המרוכבים.
2. איך לחבר ביניהם.
3. איך להכפיל ביניהם.
נסמן ב איבר מסויים, ונגדיר . במילים אחרות . המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה כאשר . כלומר, . שימו לב שכמובן שהמספרים הממשיים מוכלים במרוכבים, פשוט לוקחים .
חיבור: .
כפל: .
לדוגמא: נסמן . נקבל: , וכן .
חלק ממשי וחלק מדומה
יהי . נגדיר את החלק הממשי שלו להיות: , ואת החלק המדומה שלו להיות . שימו לב שגם החלק הממשי וגם החלק המדומה הם מספרים ממשיים!!!
דוגמא: .
שימו לב שמספר מרוכב הוא ממשי אם ורק אם .
מספר מרוכב נקרא מדומה טהור אם . למשל .
נורמה וצמוד
נורמה
במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה המוגדרת ע"י: . מאיפה הגיעה הפונקציה הזו? אם נתבונן על המספרים המרוכבים במערכת צירים נוכל לשים לב שהנורמה היא המרחק (האוקלידי) מראשית הצירים. דוגמאות נחמדות כיד המתרגל הטובה עליו.
תכונות הנורמה
1. כפליות: .
2. אי שליליות: , ומתקיים: .
3. אי שיוויון המשולש: .
אש"מ ההפוך - בהרצאה
הוכיחו: .
הערה: זה נקרא אש"מ ההפוך.
פתרון: נסמן . נשים לב ש ולכן . כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: . נעביר אגפים לקבל .
בדומה, נסמן . נשים לב ש ולכן . כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: . נעביר אגפים לקבל .
נאחד את שני אי-השיוויונים שקיבלנו ונקבל .
צמוד
לכל מספר מרוכב נגדיר את הצמוד המרוכב שלו להיות . לדוג': .
תכונות הצמוד
1. כפליות: .
2. חיבוריות: .
3. אותה נורמה: .
ראיתם בהרצאה:
הוכיחו שלכל מספר מרוכב מתקיים:
1. .
2. .
3.
פתרון: נסמן ונחשב:
.
.
תרגיל
מצאו מספר מרוכב המקיים: , ומקמו אותו על במישור המרוכב.
פתרון: נסמן , לכן . בנוסף, , ולכן .
מציאת הופכי וחילוק
עובדה: לכל מספר מרוכב שונה מאפס קיים הופכי.
ש: איך נמצא את ההופכי?
ת: כמסקנה מהתרגיל האחרון המקשר בן נורמה לצמוד נקבל: .
תרגיל
מצא את ההופכי של .
פתרון: לפי המסקנה נקבל: .
תרגיל
הצג את הביטוי הבא בצורה וציין מהם . הביטוי הינו:
פתרון: נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה .
נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי וכעת רשמנו
לפיכך נקבל:
.
.
.
.
תרגילים
תרגיל
פתור את המשוואה הבאה:
1. .
פתרון
נפתור לפי נוסחת השורשים הרגילה:
. אבל איך מוציאים שורש למספר מרוכב? לכל מספר מרוכב קיים שורש מרוכב. נסמן אותו , כלומר, . נעשה השוואת מקדמים, אלה שעם ואלה שבלי ונקבל שתי משוואות בשני נעלמים:
.
מהמשוואה השנייה נקבל , ולכן לפי המשוואה הראשונה נקבל . קיבלנו שני פתרונות:
עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \Rightarro לא מוכרת): a=1\Rightarrow b=1\Rightarro w=1+i
.
בסה"כ נקבל , ולכן בסה"כ: .
תרגיל
א. פתרו את הנשוואה .
ב. הוכיחו שלמשוואה אין פתרון.
פתרון: נסמן, וניזכר שמתקיים , ונקבל . נעשה השוואת מקדמים ונקבל:
.
לכן , כלומר, .
ב. נשים לב שאגף ימין הוא מספר ממשי, כי תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה לצד ימין יש חלק מדומה לכל מספר מרוכב .