הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 3"
שורה 1: | שורה 1: | ||
חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]]. | חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]]. | ||
− | |||
− | |||
הגדרה של סדרה אינסופית - נסתפק בתרגול בהבנה אינטואיטיבית, פשוטו כמשמעו.... | הגדרה של סדרה אינסופית - נסתפק בתרגול בהבנה אינטואיטיבית, פשוטו כמשמעו.... | ||
שורה 32: | שורה 30: | ||
כעת, מהמשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות מתכנסת נקבל שהכל שואף לאפס. | כעת, מהמשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות מתכנסת נקבל שהכל שואף לאפס. | ||
+ | |||
+ | ===תרגילים=== | ||
====תרגיל==== | ====תרגיל==== | ||
שורה 41: | שורה 41: | ||
====הערה==== | ====הערה==== | ||
במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: <math>z_n=\text{cis}n</math>, כאשר מסתכליםפ על הזוית ברדיאנים. כל המספרים שונים כי <math>n_-n_2\neq 2\pi k</math> כיון שההפרש שלם. | במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: <math>z_n=\text{cis}n</math>, כאשר מסתכליםפ על הזוית ברדיאנים. כל המספרים שונים כי <math>n_-n_2\neq 2\pi k</math> כיון שההפרש שלם. | ||
+ | |||
+ | ====תרגיל==== | ||
+ | הוכיחו שאם <math>z=r\text{cis}\theta,r<1</math> אז הסדרה <math>z_n=z^n\to 0</math>. | ||
+ | |||
+ | =====פתרון===== | ||
+ | נבדוק לפי הגדרה: <math>|z_n-0|=|z^n|=|z|^n=r^n\to 0</math>, כאשר המעבר האחרון מאינפי 1. |
גרסה מ־12:37, 13 בנובמבר 2018
חזרה ל מערכי תרגול.
הגדרה של סדרה אינסופית - נסתפק בתרגול בהבנה אינטואיטיבית, פשוטו כמשמעו....
גבול של סדרה: נאמר שסדרה מתכנסת לגבול ונסמן אם מתקיים , כאשר הדבר האחרון מוגדר כבר באינפי 1 כי זו סדרה של ממשיים.
תוכן עניינים
דוגמאות
1. . הוכחה: , כאשר השאיפה בסוף נובעת מהידוע לנו מאינפי 1.
2. בדומה...
טענות
בדומה לסדרות של ממשיים, מתקיים:
1.
2.
3.
הוכחה:
1.
2.
3.
כעת, מהמשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות מתכנסת נקבל שהכל שואף לאפס.
תרגילים
תרגיל
ראיתם את המשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות. מה קורה בכיוון ההפוך? נניח שסדרת הנורמות מתכנסת, האם גם הסדרה המקורית?
פתרון
כמומבן שלא, ולא צריך בשביל זה מרוכבים. קחו את הסדרה המתחלפת עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): זz_n=(-1)^n .
הערה
במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: , כאשר מסתכליםפ על הזוית ברדיאנים. כל המספרים שונים כי כיון שההפרש שלם.
תרגיל
הוכיחו שאם אז הסדרה .
פתרון
נבדוק לפי הגדרה: , כאשר המעבר האחרון מאינפי 1.