הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 6"
מתוך Math-Wiki
(←טריגו) |
(←טריגו) |
||
שורה 34: | שורה 34: | ||
<math>=\frac{e^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)-e(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)}{2i}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}-e)+\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}+e)i}{2i}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}+e)-\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}-e)i</math> | <math>=\frac{e^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)-e(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)}{2i}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}-e)+\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}+e)i}{2i}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}+e)-\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}-e)i</math> | ||
+ | |||
+ | ====תרגיל==== | ||
+ | הוכיחו: <math>\sin(z+w)=\sin z\cos w+\cos z\sin w</math>. | ||
+ | |||
+ | ====פתרון===== | ||
+ | נפתח את צד ימין: | ||
+ | |||
+ | <math>\sin z\cos w+\cos z\sin w=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\cdot \frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}+\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\cdot \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}=</math> | ||
+ | |||
+ | <math>=\frac{1}{4i}(e^{iz}e^{iw}+e^{iz}e^{-iw}-e^{-iz}e^{iw}-e^{-iz}e^{-iw}+e^{iz}e^{iw}-e^{iz}e^{-iw}+e^{-iz}e^{iw}-e^{-iz}e^{-iw})=\frac{1}{4i}(2e^{iz}e^{iw}-2e^{-iz}e^{-iw})=\frac{e^{i(z+w)}-e^{-i(z+w)}}{2i}=\sin (z+w)</math> |
גרסה מ־10:51, 11 בדצמבר 2018
חזרה ל מערכי תרגול.
תוכן עניינים
אקסופנט
ראינו בשבוע שעבר שהפונקציה גזירה ומקיימת , וראיתם בהרצאה שהיא מקיימת את כל התכונות הנדרשות לפונקציית האקספוננט, ולכן הגדרנו: .
לדוגמא, נחשב :
.
תרגיל
כידוע, בממשיים מתקיים . מה לגבי המרוכבים? האם קיים כך ש הוא ממשי וקטן מאפס?
פתרון
כן! נתחיל מדוגמא, ואז נבין את הפתרון הכללי. נחפש כך ש .
ראשית, כדי שהתוצאה תהיה ממשית דרוש , ולכן . כעת נקבל , וכיון שאנחנו רוצים לקבל מספר שלילי נרצה , ולכן ניקח .
מה שקיבלנו עד כה זה , ולכן אם ניקח נקבל כדרוש.
באופן כללי: יהי ממשי. נבחר ונקבל .
תרגיל
הוכיחו שמתקיים:
פתרון
לפי הגדרה: .
טריגו
הגדרתם בהרצאה את הפונקציות הטריגונומטריות .
לדוגמא, נחשב:
תרגיל
הוכיחו: .
פתרון=
נפתח את צד ימין: