הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה - ארז שיינר"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏תזכורת לגבי מרחבי מכפלה פנימית והיטלים)
שורה 133: שורה 133:
  
 
===תזכורת לגבי מרחבי מכפלה פנימית והיטלים===
 
===תזכורת לגבי מרחבי מכפלה פנימית והיטלים===
 +
*E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין <math>f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C}</math> מעל השדה <math>\mathbb{C}</math>.
 +
**פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה פרט למספר סופי של נקודות אי רציפות סליקות או קפיצתיות (מין ראשון).
 +
*<math>\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx</math> היא מכפלה פנימית מעל E.
 +
*נביט בנורמה המושרית <math>||f||^2=\langle f,f\rangle</math>
  
 +
 +
*תהי קבוצה אורתונורמלית סופית <math>\{e_1,...,e_n\}</math> הפורשת את המרחב W.
 +
*לכל וקטור <math>v\in V</math> נגדיר את ההיטל של <math>v</math> על W על ידי <math>\widetilde{v}=\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i</math>
 +
*מתקיים כי <math>\langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle</math>
 +
**הוכחה
 +
*מתקיים כי <math>(v-\widetilde{v})\perp \widetilde{v}</math>
 +
**הוכחה
 +
*מתקיים כי <math>||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2</math>
 +
**הוכחה
 +
*מסקנה חשובה: <math>||\widetilde{v}||\leq ||v||</math>
  
 
===למת רימן לבג===
 
===למת רימן לבג===

גרסה מ־12:31, 21 בפברואר 2019

מבחנים לדוגמא

תקציר ההרצאות

הקדמה

גלים

  • מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
  • לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
    • תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
    • אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
    • פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
  • אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.


  • מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
  • למדנו במד"ר על המשוואה y''=-k^2y המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
  • זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
  • הפתרון הכללי למד"ר הוא y=a\sin(kt)+b\cos(kt).
  • הקבוע k קובע את התדר של כל גל.
  • הקבועים a,b קובעים את האמפליטודה של כל גל.
  • מה לגבי הפאזה?
    • בפונקציה a\sin(kt+t_0), הקבוע t_0 קובע את הפאזה.
    • ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
      • a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt)


  • האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי a\sin(kt)+b\cos(kt) ניתן להציג כגל יחיד?
  • תשובה: כן.
  • הוכחה:
    • נסמן z=a+bi=rcis(\theta)
    • כלומר a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta)
  • שימו לב:
    • סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
    • הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
    • לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
    • האפליטודה של הגל החדש היא r=\sqrt{a^2+b^2}.


  • האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
  • בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
  • האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
  • למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
  • במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.

טורי פורייה

  • טור פורייה הוא טור מהצורה f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]


  • אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים a_n,b_n?


חישובים להקדמה

  • ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
    • \sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]
    • \cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]
  • כעת, לכל 0\neq n\in\mathbb{N} נקבל:
    • \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos(2nx))dx = \frac{1}{2\pi}\left[x-\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right]_{-\pi}^{\pi}=1
  • עבור n\neq k \in \mathbb{N} נקבל:
    • \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n-k)x)-\cos((n+k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}-\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0
    • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה שn-k,n+k\neq 0.
  • באופן דומה, לכל 0\neq n\in\mathbb{N} נקבל:
    • \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1
  • עבור n\neq k \in \mathbb{N} נקבל:
    • \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0
    • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה שn-k,n+k\neq 0.
  • עבור n,k\in \mathbb{N} נקבל:
    • \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(kx)dx=0 כיוון שמדובר באינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית.
  • ולבסוף, עבור n=0 נקבל
    • \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2
  • שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.


  • הערה חשובה:
    • למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה \{\frac{1}{2},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\} מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית \langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx

מקדמי הטור

  • כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
  • \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\right)\cos(kx)dx=
  • =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}\cos(kx)+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right]\right)dx=
  • כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
  • =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right]
  • לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
  • a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx
  • שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור k=0.
  • באופן דומה נקבל כי b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx


  • הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
  • השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
  • באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור 2\pi.
  • לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה:
    • תהי פונקציה f, נגדיר את ההמשך המחזורי שלה g על ידי:
    • לכל k\in\mathbb{Z} ולכל x\in [-\pi+2\pi k,\pi+2\pi k) נגדיר g(x)=f(x-2\pi k).
    • ברור ש g(x+2\pi) = g(x), כלומר קיבלנו פונקציה מחזורית.
    • ניתן גם לרשום בנוסחא מקוצרת g(x)=f(x-2\pi\lfloor\frac{x+\pi}{2\pi}\rfloor)


  • לדוגמא, ההמשך המחזורי של x^2:
X^2 fourier.png


דוגמא

  • נחשב את מקדמי הפורייה של ההמשך המחזורי של x^2
  • שימו לב, מקדמי הפורייה של פונקציה וההמשך המחזורי שלה זהים, כיוון שערך הפונקציה בנקודה אחת לא משפיע על האינטגרל.


b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0.
  • שימו לב: מקדמי הפורייה של הסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה זוגית, ומקדמי הפורייה של הקוסינוסים תמיד יתאפסו עבור פונקציה אי זוגית.


a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2dx= \frac{2}{\pi}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{\pi} = \frac{2\pi^2}{3}


a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\cos(nx)dx =\left\{\begin{array}{lr}f'=\cos(nx) & g=x^2\\ f= \frac{\sin(nx)}{n} & g'=2x\end{array}\right\}=
=\frac{2}{\pi}\left[\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx = - \frac{4}{n\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)dx= \left\{\begin{array}{lr}f'=\sin(nx) & g=x\\ f= -\frac{\cos(nx)}{n} & g'=1\end{array}\right\}=
- \frac{4}{n\pi}\left[\frac{-x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi + \frac{4}{n^2\pi}\int_0^\pi \cos(nx)dx=\frac{4\pi\cos(\pi n)}{n^2\pi}+\frac{4}{n^3\pi}\left[sin(nx)\right]_0^\pi = \frac{4(-1)^n}{n^2}


  • שימו לב כי לכל n\in\mathbb{N} מתקיים כי cos(n\pi)=(-1)^n


  • סה"כ אם ההמשך המחזורי של x^2 שווה לטור פורייה שמתכנס במ"ש, אזי טור זה הוא:
\frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2}cos(nx)


  • נניח (ונוכיח בהמשך) שטור זה אכן שווה לפונקציה ונציב \pi.
  • \pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2}
  • ונקבל את הסכום המפורסם
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}


תזכורת לגבי מרחבי מכפלה פנימית והיטלים

  • E הוא המרחב הוקטורי של כל הפונקציות הרציפות למקוטעין f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C} מעל השדה \mathbb{C}.
    • פונקציה רציפה למקוטעין היא פונקציה רציפה פרט למספר סופי של נקודות אי רציפות סליקות או קפיצתיות (מין ראשון).
  • \langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx היא מכפלה פנימית מעל E.
  • נביט בנורמה המושרית ||f||^2=\langle f,f\rangle


  • תהי קבוצה אורתונורמלית סופית \{e_1,...,e_n\} הפורשת את המרחב W.
  • לכל וקטור v\in V נגדיר את ההיטל של v על W על ידי \widetilde{v}=\sum_{i=1}^n\langle v,e_i\rangle e_i
  • מתקיים כי \langle v,\widetilde{v}\rangle = \langle \widetilde{v},\widetilde{v}\rangle
    • הוכחה
  • מתקיים כי (v-\widetilde{v})\perp \widetilde{v}
    • הוכחה
  • מתקיים כי ||v||^2=||v-\widetilde{v}||^2+||\widetilde{v}||^2
    • הוכחה
  • מסקנה חשובה: ||\widetilde{v}||\leq ||v||

למת רימן לבג

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אנליזת_פורייה_-_ארז_שיינר&oldid=79990