הבדלים בין גרסאות בדף "חתכי דדקינד"
מתוך Math-Wiki
(←הקדמה) |
(←הקדמה) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
==הקדמה== | ==הקדמה== | ||
− | *אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה <math>x^2=2</math>. | + | *אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה <math>x^2=2</math> (שורש שתיים). |
*הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה <math>(1,1)</math> לראשית הצירים <math>(0,0)</math>? | *הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה <math>(1,1)</math> לראשית הצירים <math>(0,0)</math>? | ||
שורה 18: | שורה 18: | ||
(נבנה באמצעות [https://www.geogebra.org/graphing גאוגברה].) | (נבנה באמצעות [https://www.geogebra.org/graphing גאוגברה].) | ||
+ | |||
+ | *ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים. | ||
+ | |||
+ | *כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה <math>\left\{x\in\mathbb{Q}| x<0 \vee x^2 <2\right\}</math>, זו הקרן באיור. | ||
+ | |||
+ | *הרעיון הזה של חיתוך ציר הריציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את '''חתכי דדקינד'''. | ||
+ | |||
+ | ==חתכי דדקינד== | ||
+ | |||
+ | *'''הגדרה''': חתך דדקינד הוא קבוצה <math>A\subseteq\mathbb{Q}</math> המקיימת: | ||
+ | **<math>A\neq\emptyset</math> | ||
+ | **<math>A</math> חסומה מלעיל. | ||
+ | **לכל <math>m\in\mathbb{Q}</math> מתקיים כי <math>m\notin A</math> אם ורק אם <math>m</math> חסם מלעיל של <math>A</math> | ||
+ | |||
+ | *הערות ותזכורות: | ||
+ | **חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה. | ||
+ | **בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה. | ||
+ | **אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים. | ||
+ | *כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים? | ||
+ | *עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר ב[[שדה]]. | ||
+ | *כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר. |
גרסה מ־17:27, 4 בספטמבר 2020
הקדמה
- אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה (שורש שתיים).
- הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה לראשית הצירים ?
- האם ייתכן שהפרבולה עולה מהנקודה אל הנקודה בלי לחתוך את ציר האיקס?
- כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.
- כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?
(נבנה באמצעות גאוגברה.)
- ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.
- כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה , זו הקרן באיור.
- הרעיון הזה של חיתוך ציר הריציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.
חתכי דדקינד
- הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה המקיימת:
- חסומה מלעיל.
- לכל מתקיים כי אם ורק אם חסם מלעיל של
- הערות ותזכורות:
- חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
- בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה.
- אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.
- הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
- כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
- עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
- כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.