הבדלים בין גרסאות בדף "חתכי דדקינד"
מתוך Math-Wiki
(←חיבור) |
(←נגדי) |
||
שורה 67: | שורה 67: | ||
*הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו: | *הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו: | ||
− | **כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן <math>-A\neq\emptyset</math> | + | **הנגדי לא ריק: |
+ | ***כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן <math>-A\neq\emptyset</math> | ||
+ | **הנגדי חסום מלעיל: | ||
+ | ***יהי <math>a\in A</math> לכן לכל <math>m\notin A</math> מתקיים כי <math>a<m</math> ולכן <math>-m<-a</math> | ||
+ | ***לכל <math>x\in -A</math> קיים <math>m\notin A</math> כך ש <math>x<-m</math> ולכן <math>x<-a</math> | ||
+ | ***בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של <math>-A</math>. | ||
+ | **כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל: | ||
+ | ***לכל איבר בנגדי <math>x<-m</math> לכן אמצע הקטע בין <math>x,-m</math> גדול מ<math>x</math> וקטן מ<math>-m</math> ולכן שייך לנגדי <math>-A</math> ולכן <math>x</math> אינו חסם מלעיל. | ||
+ | **אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי: | ||
+ | ***נניח <math>y</math> אינו חסם מלעיל של <math>-A</math> לכן קיים <math>y<x\in -A</math> ולכן קיים <math>m\notin A</math> כך ש <math>y<x<-m</math> ולכן <math>y\in -A</math> |
גרסה מ־18:47, 4 בספטמבר 2020
הקדמה
- אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה (שורש שתיים).
- הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה לראשית הצירים ?
- האם ייתכן שהפרבולה עולה מהנקודה אל הנקודה בלי לחתוך את ציר האיקס?
- כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.
- כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?
(נבנה באמצעות גאוגברה.)
- ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.
- כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה , זו הקרן באיור.
- הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.
חתכי דדקינד
- הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה המקיימת:
- חסומה מלעיל.
- לכל מתקיים כי אם ורק אם חסם מלעיל של
- הערות ותזכורות:
- חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
- בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה.
- אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.
- הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
- כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
- עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
- כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.
פעולות בין חתכי דדקינד
חיבור
- יהיו שתי חתכים , נגדיר את החיבור:
- החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
- כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
- סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
- יהי , כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים וכן ולכן ו אינו חסם מלעיל של
- יהי שאינו חסם מלעיל של , לכן קיימים . כעת כלומר אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ .
נגדי
- יהי חתך A, נגדיר את הנגדי:
- לדוגמא
- הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו:
- הנגדי לא ריק:
- כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן
- הנגדי חסום מלעיל:
- יהי לכן לכל מתקיים כי ולכן
- לכל קיים כך ש ולכן
- בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של .
- כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל:
- לכל איבר בנגדי לכן אמצע הקטע בין גדול מ וקטן מ ולכן שייך לנגדי ולכן אינו חסם מלעיל.
- אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי:
- נניח אינו חסם מלעיל של לכן קיים ולכן קיים כך ש ולכן
- הנגדי לא ריק: