הבדלים בין גרסאות בדף "חתכי דדקינד"
מתוך Math-Wiki
(←פעולות בין חתכי דדקינד) |
|||
שורה 43: | שורה 43: | ||
*כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר. | *כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר. | ||
− | == | + | ==חיבור חתכי דדקינד== |
− | + | ||
− | + | ||
*יהיו שתי חתכים <math>A,B</math>, נגדיר את החיבור: | *יהיו שתי חתכים <math>A,B</math>, נגדיר את החיבור: | ||
שורה 58: | שורה 56: | ||
− | ==== | + | ===חתך האפס=== |
+ | |||
+ | *נגדיר את חתך האפס, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לחיבור. | ||
+ | *<math>0_D=\left\{x\in\mathbb{Q}|x<0\right\}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===נגדי=== | ||
*יהי חתך A, נגדיר את הנגדי: | *יהי חתך A, נגדיר את הנגדי: | ||
**<math>-A=\left\{x\in\mathbb{Q}|\exists m\notin A:x<-m\right\}</math> | **<math>-A=\left\{x\in\mathbb{Q}|\exists m\notin A:x<-m\right\}</math> |
גרסה מ־19:07, 4 בספטמבר 2020
תוכן עניינים
הקדמה
- אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה (שורש שתיים).
- הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה לראשית הצירים ?
- האם ייתכן שהפרבולה עולה מהנקודה אל הנקודה בלי לחתוך את ציר האיקס?
- כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.
- כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?
(נבנה באמצעות גאוגברה.)
- ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.
- כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה , זו הקרן באיור.
- הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.
חתכי דדקינד
- הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה המקיימת:
- חסומה מלעיל.
- לכל מתקיים כי אם ורק אם חסם מלעיל של
- הערות ותזכורות:
- חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
- בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה.
- אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.
- הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
- כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
- עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
- כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.
חיבור חתכי דדקינד
- יהיו שתי חתכים , נגדיר את החיבור:
- החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
- כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
- סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
- יהי , כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים וכן ולכן ו אינו חסם מלעיל של
- יהי שאינו חסם מלעיל של , לכן קיימים . כעת כלומר אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ .
חתך האפס
- נגדיר את חתך האפס, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לחיבור.
נגדי
- יהי חתך A, נגדיר את הנגדי:
- לדוגמא
- הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו:
- הנגדי לא ריק:
- כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן
- הנגדי חסום מלעיל:
- יהי לכן לכל מתקיים כי ולכן
- לכל קיים כך ש ולכן
- בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של .
- כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל:
- לכל איבר בנגדי לכן אמצע הקטע בין גדול מ וקטן מ ולכן שייך לנגדי ולכן אינו חסם מלעיל.
- אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי:
- נניח אינו חסם מלעיל של לכן קיים ולכן קיים כך ש ולכן
- הנגדי לא ריק: