הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר"
מתוך Math-Wiki
(←נורמה ונורמה מושרית) |
(←פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה) |
||
שורה 4: | שורה 4: | ||
===מכפלה סקלרית=== | ===מכפלה סקלרית=== | ||
+ | |||
+ | <math>v\cdot w = |v||u|\cos(\theta)</math> | ||
+ | |||
<videoflash>MU45juH2U_c</videoflash> | <videoflash>MU45juH2U_c</videoflash> | ||
===מכפלה פנימית=== | ===מכפלה פנימית=== | ||
+ | יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> | ||
+ | |||
+ | מכפלה פנימית היא מכפלה <math>\langle \cdot, \cdot\rangle:V\times V\to \mathbb{F}</math> המקיימת את ארבע התכונות הבאות: | ||
+ | |||
+ | לכל <math>x,y\in V</math> ולכל <math>c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי: | ||
+ | |||
+ | *אדטיביות <math>\langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle + \langle y,z\rangle</math> | ||
+ | *כפל בסקלר <math>\langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle</math> | ||
+ | *הרמיטיות <math>\langle y,x\rangle = \overline{\langle x,y\rangle}</math> | ||
+ | *אי שליליות <math>\langle x,x\rangle \geq 0</math> וכן <math>\langle x,x\rangle =0</math> אם ורק אם <math>x=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>JEfRTZj1sPE</videoflash> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>\langle av_1 +bv_2 ,cw_1+dw_2\rangle = a\overline{c}\langle v_1,w_1\rangle + a\overline{d}\langle v_1,w_2\rangle+ | ||
+ | b\overline{c}\langle v_2,w_1\rangle+b\overline{d}\langle v_2,w_2\rangle</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>25A8rn3_wGI</videoflash> | ||
===נורמה ונורמה מושרית=== | ===נורמה ונורמה מושרית=== | ||
+ | יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math> | ||
+ | |||
+ | נורמה היא פונקציה <math>||\cdot||:V\to\mathbb{R}</math> המקיימת את שלושת התכונות הבאות. | ||
+ | |||
+ | לכל <math>x,y\in V</math> ולכל <math>c\in\mathbb{F}</math> מתקיים כי: | ||
+ | |||
+ | *אי שליליות <math>||x|\geq 0</math> וכן <math>||x||=0</math> אם ורק אם <math>x=0</math> | ||
+ | *כפל בסקלר <math>||cx|| = |c|\cdot ||x||</math> | ||
+ | *אי שיוויון המשולש <math>||x+y||\leq ||x||+||y||</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <videoflash>jNCVpE8duhE</videoflash> | ||
===מכפלה פנימית מושרית=== | ===מכפלה פנימית מושרית=== |
גרסה מ־08:01, 17 באפריל 2022
תוכן עניינים
סרטונים ותקצירי הרצאות
פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה
מכפלה סקלרית
מכפלה פנימית
יהי מרחב וקטורי מעל או
מכפלה פנימית היא מכפלה המקיימת את ארבע התכונות הבאות:
לכל ולכל מתקיים כי:
- אדטיביות
- כפל בסקלר
- הרמיטיות
- אי שליליות וכן אם ורק אם
נורמה ונורמה מושרית
יהי מרחב וקטורי מעל או
נורמה היא פונקציה המקיימת את שלושת התכונות הבאות.
לכל ולכל מתקיים כי:
- אי שליליות וכן אם ורק אם
- כפל בסקלר
- אי שיוויון המשולש
מכפלה פנימית מושרית
- האם כל נורמה היא נורמה מושרית?
- האם ייתכן שנורמה תהיה הנורמה המושרית של שתי מכפלות פנימיות שונות?
לתשובות ולהוכחות קראו את הערך מכפלה פנימית מושרית.
פרק 2 - המרחב הניצב
- משפט הפירוק הניצב
- בא"נ והיטלים
- אי שיוויון בסל
- משפט פיתגורס
- גרם שמידט