הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.2.11"
(←פתרון) |
(←פתרון) |
||
שורה 47: | שורה 47: | ||
קבע האם האינטגרל הנתון בעל ערך חיובי או שלילי: <math>\int\limits_{-3}^{-1}\frac{x^4}{\sqrt{2-x}}\mathrm dx</math>. | קבע האם האינטגרל הנתון בעל ערך חיובי או שלילי: <math>\int\limits_{-3}^{-1}\frac{x^4}{\sqrt{2-x}}\mathrm dx</math>. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | נסמן <math>f(x)=\frac{x^4}{\sqrt{2-x}}</math> קל לראות ש-f חיובית בקטע <math>[-3,-1]</math> ולכן <math>\int\limits_{-3}^{-1}f\ge\int\limits_{-3}^{-1} 0\mathrm dx=0(-1-(-3))=0</math>, כלומר אי-שלילי. נעיר ש-<math>x=0</math> (שהיא הנקודה המאפסת | + | נסמן <math>f(x)=\frac{x^4}{\sqrt{2-x}}</math> קל לראות ש-f חיובית בקטע <math>[-3,-1]</math> ולכן <math>\int\limits_{-3}^{-1}f\ge\int\limits_{-3}^{-1} 0\mathrm dx=0(-1-(-3))=0</math>, כלומר אי-שלילי. נעיר ש-<math>x=0</math> (שהיא הנקודה המאפסת היחידה של f ב-<math>\mathbb R</math>) אינה בקטע ולכן התוצאה '''חיובית'''. {{משל}} |
==דוגמה 5== | ==דוגמה 5== |
גרסה מ־11:00, 14 במאי 2011
תוכן עניינים
אינטגרל לפי רימן
הגדרה: יהי קטע סגור. נסמן את כחלוקה ונקרא ל-T חלוקה. נסמן כאשר .
הגדרה: תהי f פונקציה המוגדרת ב- ותהי T חלוקה של הקטע. עבור כל תת קטע נבחר נקודה ונבנה סכום מהצורה . סכום זה נקרא סכום רימן של f והוא תלוי ב- וב-.
הגדרה: פרמטר החלוקה של T מוגדר כ-.
הגדרה: תהי סדרת חלוקות של הקטע . נאמר כי נורמלית אם .
הגדרה: נאמר כי סכומי רימן שואפים לגבול I כאשר אם לכל קיימת כך שלכל חלוקה T עבורה מתקיים .
דוגמה 1
נמצא פונקציה לא אינטגרבילית. דוגמה קלאסית לכך היא פונקצית דיריכלה - לכל חלוקה נורמלית שנבחר תהיה נקודה רציונלית ונקודה אי-רציונלית בתת קטע של ולכן סכום רימן יכול להיות כל ערך בין 0 ל- (כולל).
דוגמה 2
קבע אינטגרביליות של f בקטע כאשר .
פתרון
נוכיח אינטגרביליות לפי רימן. תהי נתונה. צריך להוכיח כי קיימת כך שלכל חלוקה T, עבורה מתקיים . נצייר את הפונקציה:
גרף (1)
אינטואיטיבית, מהגרף ניתן לראות שהשטח מתחת ל-f הוא , כלומר אנו ננסה להוכיח ש-:
נסמן ב-T את החלוקה של . נבחר העדנה של T המקיימת ונבנה את סכום רימן באופן הבא: תהי ותהי . עבור , סכומי רימן הם
נשים לב כי ולכן ו-. כמו כן, לפי הגדרת , מתקיים ו-. מכאן ש-. נזכיר כי חשדנו ש- ולכן נבדוק מהו : ולכן . נבחר ונקבל את הדרוש. לסיכום, ערך האינטגרל הוא 1 ובוודאי ש-f אינטגרבילית.
דוגמה 3
חשב את הגבול .
פתרון
נתבונן בסדרה . כאשר , קל לראות שמדובר בקטע . לפי חוקי לוגריתמים אפשר לרשום: . ברור כי ln אינטגרבילית ב- ולכן נבחר חלוקה שעבורה , ואז .
הערה: את האינטגרל הזה נלמד לפתור בשיעור הבא.
משפט: אם ו-f ו-g אינטגרביליות אז .
דוגמה 4
קבע האם האינטגרל הנתון בעל ערך חיובי או שלילי: .
פתרון
נסמן קל לראות ש-f חיובית בקטע ולכן , כלומר אי-שלילי. נעיר ש- (שהיא הנקודה המאפסת היחידה של f ב-) אינה בקטע ולכן התוצאה חיובית.
דוגמה 5
נוכיח כי .
פתרון
נתון כי ולכן . מכאן ש- חיובית. נפעיל אינטגרל (צריכים רק את צד שמאל) ונקבל . התוצאה קטנה מ-7.5 ולכן נחפש חסם אחר: , לכן .
דוגמה 6
הוכח כי
פתרון
ננסה למצוא קבועים המקיימים (כי אינטגרל של קבוע אנו יודעים לפתור). נמצא מינימום ומקסימום. נסמן ואז ולכן נקודה החשודה כקיצון היא : ולפיכך היא מינימום. לפי וירשטרס נחפש גם בקצוות: (מקסימום) וכן . לכן . לפיכך ונקבל בדיוק את מה שרשום.