הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
(יצירת דף עם התוכן "=שיטות אינטגרציה= ==דוגמאות== בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-<math>\int</math>. ...") |
מ (←שברים חלקיים) |
||
שורה 12: | שורה 12: | ||
==שברים חלקיים== | ==שברים חלקיים== | ||
− | נפתח שיטה לביצוע אינטגרציה של פונקציה רציונלית כלשהי <math>\frac pq</math> | + | נפתח שיטה לביצוע אינטגרציה של פונקציה רציונלית כלשהי <math>\frac pq</math> (<math>p,q</math> פולינומים). כבר ראינו [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/6.3.11#partial_fraction_example|דוגמה פרטית]] של השיטה, כאשר פירקנו פונקציה רציונלית לסכום של פונקציות רציונליות פשוטות, וזה יסוד השיטה. |
נסתמך ללא הוכחה על משפט מאלגברה: כל פונקציה רציונלית <math>\frac pq</math> | נסתמך ללא הוכחה על משפט מאלגברה: כל פונקציה רציונלית <math>\frac pq</math> | ||
− | כך ש-<math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק כסכום של שברים חלקיים: <math>\frac A{\left(x-x_0\right)^n}+\frac{Bx+C}{\left(x^2+bx+c\right)^k}</math>, כאשר <math>A,B,C,x_0\in\mathbb R</math> קבועים ולמכנה <math>\left(x^2+bx+c\right)^k</math> אין שורשים ממשיים (כלומר <math>b^2-4c<0</math>). | + | כך ש-<math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים: <math>\frac A{\left(x-x_0\right)^n}+\frac{Bx+C}{\left(x^2+bx+c\right)^k}</math>, כאשר <math>A,B,C,x_0\in\mathbb R</math> קבועים ולמכנה <math>\left(x^2+bx+c\right)^k</math> אין שורשים ממשיים (כלומר <math>b^2-4c<0</math>). |
האינטגרציה של השבר הראשון קלה: <math>\int\frac{A\mathrm dx}{\left(x-x_0\right)^n}=\frac{A\left(x-x_0\right)^{-n+1}}{-n+1}+?</math>. לשבר השני יותר קשה למצוא אינטגרל. ניתן כמה דוגמאות: | האינטגרציה של השבר הראשון קלה: <math>\int\frac{A\mathrm dx}{\left(x-x_0\right)^n}=\frac{A\left(x-x_0\right)^{-n+1}}{-n+1}+?</math>. לשבר השני יותר קשה למצוא אינטגרל. ניתן כמה דוגמאות: | ||
{{left|1=<span></span> | {{left|1=<span></span> |
גרסה מ־11:56, 18 במרץ 2011
תוכן עניינים
שיטות אינטגרציה
דוגמאות
בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-.
- : נציב ולכן
דרך אחרת: , נציב ולכן - : נגדיר ולכן
- : נגדיר ואז
- : נציב לקבל
- : . לפיכך
- : ומכאן נובע
- : אם אז נציב ואז
- נתון קבוע וצריך למצוא נוסחת נסיגה ל- לכל . ברור כי . כעת . לפיכך לכן . למשל, עבור נחשב : וכן . לבסוף:
שברים חלקיים
נפתח שיטה לביצוע אינטגרציה של פונקציה רציונלית כלשהי ( פולינומים). כבר ראינו דוגמה פרטית של השיטה, כאשר פירקנו פונקציה רציונלית לסכום של פונקציות רציונליות פשוטות, וזה יסוד השיטה.
נסתמך ללא הוכחה על משפט מאלגברה: כל פונקציה רציונלית כך ש- ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים: , כאשר קבועים ולמכנה אין שורשים ממשיים (כלומר ). האינטגרציה של השבר הראשון קלה: . לשבר השני יותר קשה למצוא אינטגרל. ניתן כמה דוגמאות:
- נציב ואז :נציב ונסמן :כאשר הוא בדיוק אותו שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.
באופן כללי נהפוך את השבר ל-. את האינטגרל של השבר השמאלי (זה שבמונהו יש ) נחשב ע"י הצבת , ואת השבר הימני לפי סעיף 8 בדוגמאות הנ"ל.
עתה נשאר לנו ללמוד את השיטה לפירוק פונקציה נתונה לסכום של שברים חלקיים. נעזר במשפט היסודי של האלגברה: אם אז קיים לו פירוק (כאשר ). חלק מה--ים יכולים להיות ממשיים, אבל בכל אופן מספר השורשים הלא ממשיים יהא זוגי. למשל:כעת, בהינתן האינטגרל כאשר נפרק את ל- ו- כנ"ל, נמצא כנזכר למעלה ונחשב את האינטגרל.
דוגמאות
- . A ו-B מקיימים ונקבל
- : האינטגרנד שווה ל-. נמצא את A,B,C,D: מתקיים .
נציב ואז .
נציב : .
נציב ונקבל .
לבסוף נציב ואז .
לפיכך