הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/13.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
מ (←דוגמה) |
מ (←דוגמה) |
||
שורה 21: | שורה 21: | ||
===דוגמה=== | ===דוגמה=== | ||
− | חשב <math\int\frac{\mathrm dx}{5-3\cos(x)}</math>. | + | חשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{5-3\cos(x)}</math>. |
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
נציב <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{5-3\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}\\&=\int\frac{2\mathrm dt}{5+5t^2-3\left(1-t^2\right)}\\&=\int\frac{\mathrm dt}{1+4t^2}\\&=\frac12\arctan(2t)+c\\&=\frac12\arctan\left(2\tan\left(\frac x2\right)\right)+c\end{align}</math>}} | נציב <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{5-3\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}\\&=\int\frac{2\mathrm dt}{5+5t^2-3\left(1-t^2\right)}\\&=\int\frac{\mathrm dt}{1+4t^2}\\&=\frac12\arctan(2t)+c\\&=\frac12\arctan\left(2\tan\left(\frac x2\right)\right)+c\end{align}</math>}} | ||
{{משל}} | {{משל}} |
גרסה מ־17:10, 9 באפריל 2011
תוכן עניינים
שיטות אינטגרציה (המשך)
דוגמאות נוספות
- : נמצא A,B,C עבורם האינטגרנד שווה ל-. נשווה מונים: ולכן . לבסוף נקבל
- : נשים לב שמעלת המונה גדולה ממעלת המכנה, לכן לא ניתן להשתמש בשברים חלקיים בשלב זה. נחלק פולנומים: ז"א
- : נפרק את המכנה ונקבל . לכן האינטגרנד הוא עבור A,B,...,T כלשהם. עתה נותר "רק" למצוא אותם ולחשב את האינטגרל.
אינטגרל של פונקציה רציונלית של sin ו-cos
נתונה פונקציה רציונלית R של שני משתנים, ואנו מעוניינים לחשב את . למשל, אם אז אנו רוצים למצוא אינטגרל ל-.
דוגמאות פרטית
- נציב ואז
- נציב . לכן:
כללים: באינטגרל :
- אם אז תועיל ההצבה .
- אם נציב .
- אם נציב .
- בכל מקרה תועיל ההצבה , שתהפוך את האינטגרנד לפונקציה רציונלית של , והאינטגרל שלה פתיר בעזרת שברים חלקיים. במקרה כזה:
- ולכן .
- , לפיכך ונקבל .
- .
דוגמה
חשב .
פתרון
נציב ולכן