הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.4.11"
(יצירת דף עם התוכן "=מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}= בהרצאה הקודמת הצגנו את כלל סימפסון לקירוב האינטגרל ...") |
מ (←דוגמאות) |
||
שורה 48: | שורה 48: | ||
===דוגמאות=== | ===דוגמאות=== | ||
− | # <math>\int\limits_1^\infty{\mathrm dx}{x^2}</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R\frac{\mathrm dx}{x^2}\\&=\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_{x=1}^R\\&=\lim_{R\to\infty}\left(-\frac1R+1\right)\\&=1\end{align}</math>}} ניתן גם לכתוב בקיצור: <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{x=1}^\infty=0-(-1)=1</math>. | + | # <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R\frac{\mathrm dx}{x^2}\\&=\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_{x=1}^R\\&=\lim_{R\to\infty}\left(-\frac1R+1\right)\\&=1\end{align}</math>}} ניתן גם לכתוב בקיצור: <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{x=1}^\infty=0-(-1)=1</math>. |
# <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln|x|]_{x=1}^\infty=\ln(\infty)-0=\infty</math>, כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב). | # <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln|x|]_{x=1}^\infty=\ln(\infty)-0=\infty</math>, כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב). | ||
# שאלה מארה"ב מלפני הרבה שנים: חצוצרה אינסופית תתקבל מסיבוב הגרף <math>y=\frac1x</math> סביב ציר ה-x ב-<math>[1,\infty)</math>. איך צובעים אותו מבפנים?<br/>'''פתרון''': לכאורה זה בלתי אפשרי, כי שטח הפנים של החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\sqrt{1+\left(-\frac1{x^2}\right)^2}\mathrm dx>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\mathrm dx=\infty</math>, כלומר אין מספיק צבע בעולם. אך מכיוון שכמות הצבע נמדדת ביחידות נפח ולא שטח, ומכיוון שהנפח בתוך החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\pi</math>, יספיקו לנו <math>\pi</math> יחידות מעוקבות של צבע ואפילו ישאר לנו עודף. | # שאלה מארה"ב מלפני הרבה שנים: חצוצרה אינסופית תתקבל מסיבוב הגרף <math>y=\frac1x</math> סביב ציר ה-x ב-<math>[1,\infty)</math>. איך צובעים אותו מבפנים?<br/>'''פתרון''': לכאורה זה בלתי אפשרי, כי שטח הפנים של החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\sqrt{1+\left(-\frac1{x^2}\right)^2}\mathrm dx>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\mathrm dx=\infty</math>, כלומר אין מספיק צבע בעולם. אך מכיוון שכמות הצבע נמדדת ביחידות נפח ולא שטח, ומכיוון שהנפח בתוך החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\pi</math>, יספיקו לנו <math>\pi</math> יחידות מעוקבות של צבע ואפילו ישאר לנו עודף. |
גרסה מ־20:25, 16 באפריל 2011
תוכן עניינים
מבוא לאינטגרציה נומרית (המשך)
בהרצאה הקודמת הצגנו את כלל סימפסון לקירוב האינטגרל המסויים והראנו שהטעות בחישוב בקטע חסומה ע"י כאשר h המרחק בין שתי נקודות סמוכות בחלוקה שבחרנו. ניתן גישה אחרת למציאת הטעות, שהיא יותר קצרה ונותנת ערך יותר קטן לחסם של הטעות, אבל היא פחות אינטואיטיבית:
ע"י נירמול מספיק לחשב בקירוב כאשר f גזירה 4 פעמים בסביבת 0. נגדיר פונקציה חדשה . G מוגדרת ורציפה בסביבה של 0 וגם (לפי הצבה) . עבור F קדומה ל-f מתקיים (לפי המשפט היסודי)לכן . ע"פ הלמה השנייה בהרצאה הקודמת קיים ושווה ל-0. נגזור שוב את G ונקבל . מכאן ש-. נמשיך לגזור פעמיים נוספות ונקבל וגם . עתה:
לפי משפט קושי קיים עבורו: | ||||||
קיים עבורו: | ||||||
קיים עבורו: | ||||||
קיים עבורו: |
עתה וקיבלנו ש-, כלומר הטעות בכל קטע מהסוג חסומה ע"י . ב- יש ולפיכך הטעות חסומה ע"י .
דוגמה
נקרב . נבחר . נציב:
- הקירוב לפי סכום רימן הוא .
- כעת נעשה קירוב בשיטת הטרפזים:
- ולפי סימפסון: נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון: ולכן והטעות R בקירוב מקיימת
אינטגרל לא אמיתי (improper integral)
עד עתה הגדרנו אינטגרלים מסויימים רק עבור פונקציות חסומות בקטעים סופיים. אם הפונקציה לא חסומה ו/או הקטע לא חסום עדיין ניתן להגדיר "אינטגרל לא אמיתי".
סוג א
אינטגרלים של קטעים אינסופיים מהסוג .
הגדרה: תהי f פונקציה מוגדרת בקטע מהסוג . נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל f אינטגרבילית בקטע .
למשל, אם f רציפה למקוטעין אז היא אינטגרבילית מקומית.
הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב- נגדיר . אם הגבול קיים נאמר שהאינטגרל מתכנס, אחרת הוא מתבדר.
אינטגביליות מקומית מוגדרת באופן דומה עבור קטע מהצורה ואם f אינטגרבילית מקומית שם נגדיר .
עבור f מוגדרת בכל נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית מקומית בכל קטע סופי, ואם כן נגדיר עבור כרצוננו עבורו שני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.
דוגמאות
- . נחשב: ניתן גם לכתוב בקיצור: .
- , כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב).
- שאלה מארה"ב מלפני הרבה שנים: חצוצרה אינסופית תתקבל מסיבוב הגרף סביב ציר ה-x ב-. איך צובעים אותו מבפנים?
פתרון: לכאורה זה בלתי אפשרי, כי שטח הפנים של החצוצרה הוא , כלומר אין מספיק צבע בעולם. אך מכיוון שכמות הצבע נמדדת ביחידות נפח ולא שטח, ומכיוון שהנפח בתוך החצוצרה הוא , יספיקו לנו יחידות מעוקבות של צבע ואפילו ישאר לנו עודף.
שאלה: האם התכנסות האינטגרל גוררת ש- (בדומה לטורים)?
תשובה: לא. נגדיר פונקציה f שהגרף שלה הוא
אזיכלומר האינטגרל מתכנס, אבל לא קיים.