הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.4.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
(←דוגמאות חישוב) |
מ |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | =אינטגרל לא אמיתי {{הערה|(המשך)}}= | + | =אינטגרל לא אמיתי, סוג I {{הערה|(המשך)}}= |
==דוגמאות חישוב== | ==דוגמאות חישוב== | ||
# נחשב <math>\int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx</math>:{{left|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R xe^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}\left[x'\cdot(-x)e^{-x}\right]_{x=1}^R-\int\limits_1^R -e^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}-Re^{-R}+e^{-1}-[e^x]_{x=1}^R\\&=\frac2e\end{align}</math>}}דרך קיצור:{{left|<math>\int=[-xe^{-x}]_{x=1}^\infty+\int\limits_1^\infty -e^{-x}\mathrm dx=e^{-1}-[e^{-x}]_{x=1}^\infty=\frac2e</math>}} {{משל}} | # נחשב <math>\int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx</math>:{{left|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R xe^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}\left[x'\cdot(-x)e^{-x}\right]_{x=1}^R-\int\limits_1^R -e^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}-Re^{-R}+e^{-1}-[e^x]_{x=1}^R\\&=\frac2e\end{align}</math>}}דרך קיצור:{{left|<math>\int=[-xe^{-x}]_{x=1}^\infty+\int\limits_1^\infty -e^{-x}\mathrm dx=e^{-1}-[e^{-x}]_{x=1}^\infty=\frac2e</math>}} {{משל}} |
גרסה מ־11:20, 2 במאי 2011
תוכן עניינים
אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
דוגמאות חישוב
- נחשב :דרך קיצור:
- : נציב ואז כאשר נקבל וכאשר נקבל ולכן .
- עבור נחשב : אם זה , כלומר מתבדר. עבור נקבל , כלומר האינטגרל מתכנס . הערה: עבור מתקבל בקטע . לכן מבין הפונקציות , הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על מתבדר היא . אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ- שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל . "קל לבדוק" שעבור האינטגרל מתכנס אם"ם .
- נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב- ונניח ש-. נוכיח כי קיימת פונקציה g אי-שלילית ורציפה ב- מסדר גודל יותר קטן מ-f, ז"א , ועדיין . ובכן נגדיר אז כמובן ש- ולפי הנתון נגדיר ולכן ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת .
- נניח ש-f אי-שלילית ורציפה ב- ו- מתכנס. נוכיח שקיימת g אי-שלילת מסדר גודל גדול מ-f כך ש- מתכנס.
בנייה: נגדיר לכן לכן קיים ושווה ל-L. אם נגדיר אז g מסדר גודל כמו של f וזה לא עוזר, לכן יש להגדיר אז וכיוון שהאינטגרל של f מתכנס, . נגדיר חילקנו את f בפונקציה ששואפת ל-0 באינסוף, ולכן g מסדר גודל יותר גדול מ-f. יתר על כן - , כלומר האינטגרל מתבדר לחלוטין.
- נתבונן באינטגרל - מתכנס או מתבדר? נוכיח שמתכנס בעזרת משפט לייבניץ על טורים. נבחר N טבעי ונבטא את האינטגרל החלקי (כאשר ): . נסמן . טענה: המספרים מקיימים
- (ולכן הטור שמתפתח הוא טור לייבניץ).
- אם k אי-זוגי אז בקטע ואם k זוגי אז בקטע. לכן הטענה הראשונה מתקיימת.
- לכל k טבעי כי בעלת סימן קבוע ב-. נציב על מנת לקבל ומכיוון ש- זה שווה ל- ואילו , ומכיוון ש- הטענה השנייה מתקיימת.
משפט 1
נניח שהפונקציות f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות בקטע ו-c מספר קבוע. אזי הפונקציה אינטגרבילית ב- ומתקיים .
הוכחה
לפי הגדרה .
משפט 2
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב- ויהי . אזי האינטגרל מתכנס אם"ם מתכנס, ואם כן . ההוכחה פשוטה מדי.
משפט 3
- תהי f מוגדרת ועולה בקטע . אזי קיים אם"ם , ואם כן .
- תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-. עוד נניח ש- בקטע זה, אזי מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים חסומים מלעיל.
הוכחות
- נניח . טענה: קיים ושווה ל-m. הוכחה: לפי אפיון החסם העליון, אם אזי קיים כך ש- לכן עבור כל מתקיים (מכיוון ש-f עולה) . בפרט, לכל מתקיים ולכן ואם (לא חסום) אז לכל קיים כך ש-. כעת, אם אז . נובע ש- ואין גבול במובן הצר.
- לכל נגדיר . כיוון ש- לכל , עולה עם R. האינטגרל הלא אמיתי מקיים וראינו בסעיף 1 שהגבול של קיים אם"ם חסומה מלעיל, ז"א אם"ם חסום מלעיל כאשר .
מסקנה
מתוך ההוכחה ראינו שאם האינטגרל הלא אמיתי של פונקציה אינטגרבילית מקומית אי-שלילית מתבדר אז הוא מתכנס במובן הרחב ל-.