הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.4.11"
מ (←אינטגרל לא אמיתי {{הערה|(improper integral)}}) |
מ (←דוגמה) |
||
שורה 30: | שורה 30: | ||
* הקירוב לפי סכום רימן הוא <math>\sum_{k=0}^4f(x_k)h=\frac14\left(1+\frac45+\frac23+\frac47+\frac12\right)\approx\underline{0.6}34523809</math>. | * הקירוב לפי סכום רימן הוא <math>\sum_{k=0}^4f(x_k)h=\frac14\left(1+\frac45+\frac23+\frac47+\frac12\right)\approx\underline{0.6}34523809</math>. | ||
* כעת נעשה קירוב בשיטת הטרפזים: {{left|<math>\frac{f(x_0)+f(x_4)}2h+h\sum_{k=1}^3f(x_k)=\frac18\left(1+\frac12\right)+\frac14\left(\frac45+\frac23+\frac47\right)\approx\underline{0.69}7023792</math>}} | * כעת נעשה קירוב בשיטת הטרפזים: {{left|<math>\frac{f(x_0)+f(x_4)}2h+h\sum_{k=1}^3f(x_k)=\frac18\left(1+\frac12\right)+\frac14\left(\frac45+\frac23+\frac47\right)\approx\underline{0.69}7023792</math>}} | ||
− | * ולפי סימפסון: {{left|<math>\begin{array}{l}\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{1}f(x_{2k})+f(x_4)\right)\\=\frac1{12}\left(1+4\frac45+2\frac23+4\frac47+\frac12\right)\\\approx\underline{0.693}253968\end{array}</math>}} נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון: {{left|<math>f'(x)=-x^{-2}\implies f''(x)=2x^{-3}\implies f^{(3)}(x)=-6x^{-4}\implies f^{(4)}(x)=24x^{-5}</math>}} ולכן <math>M=\max_{x\in[1,2]}\left|24x^{-5}\right|=24</math> והטעות R בקירוב מקיימת <math>|R|\le\frac{Mh^4}{180}(2-1)=\frac1{1920}<5.21\cdot10^{-4}</math> | + | * ולפי סימפסון: {{left|<math>\begin{array}{l}\displaystyle\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{1}f(x_{2k})+f(x_4)\right)\\=\frac1{12}\left(1+4\frac45+2\frac23+4\frac47+\frac12\right)\\\approx\underline{0.693}253968\end{array}</math>}} נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון: {{left|<math>f'(x)=-x^{-2}\implies f''(x)=2x^{-3}\implies f^{(3)}(x)=-6x^{-4}\implies f^{(4)}(x)=24x^{-5}</math>}} ולכן <math>M=\max_{x\in[1,2]}\left|24x^{-5}\right|=24</math> והטעות R בקירוב מקיימת <math>|R|\le\frac{Mh^4}{180}(2-1)=\frac1{1920}<5.21\cdot10^{-4}</math> |
=אינטגרל לא אמיתי, סוג I= | =אינטגרל לא אמיתי, סוג I= |
גרסה מ־11:26, 2 במאי 2011
מבוא לאינטגרציה נומרית (המשך)
בהרצאה הקודמת הצגנו את כלל סימפסון לקירוב האינטגרל המסויים והראנו שהטעות בחישוב בקטע חסומה ע"י כאשר h המרחק בין שתי נקודות סמוכות בחלוקה שבחרנו. ניתן גישה אחרת למציאת הטעות, שהיא יותר קצרה ונותנת ערך יותר קטן לחסם של הטעות, אבל היא פחות אינטואיטיבית:
ע"י נירמול מספיק לחשב בקירוב כאשר f גזירה 4 פעמים בסביבת 0. נגדיר פונקציה חדשה . G מוגדרת ורציפה בסביבה של 0 וגם (לפי הצבה) . עבור F קדומה ל-f מתקיים (לפי המשפט היסודי)לכן . ע"פ הלמה השנייה בהרצאה הקודמת קיים ושווה ל-0. נגזור שוב את G ונקבל . מכאן ש-. נמשיך לגזור פעמיים נוספות ונקבל וגם . עתה:
לפי משפט קושי קיים עבורו: | ||||||
קיים עבורו: | ||||||
קיים עבורו: | ||||||
קיים עבורו: |
עתה וקיבלנו ש-, כלומר הטעות בכל קטע מהסוג חסומה ע"י . ב- יש ולפיכך הטעות חסומה ע"י .
דוגמה
נקרב . נבחר . נציב:
- הקירוב לפי סכום רימן הוא .
- כעת נעשה קירוב בשיטת הטרפזים:
- ולפי סימפסון: נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון: ולכן והטעות R בקירוב מקיימת
אינטגרל לא אמיתי, סוג I
עד עתה הגדרנו אינטגרלים מסויימים רק עבור פונקציות חסומות בקטעים סופיים. אם הפונקציה לא חסומה ו/או הקטע לא חסום עדיין ניתן להגדיר "אינטגרל לא אמיתי" (improper integral).
אינטגרלים של קטעים אינסופיים מהסוג .
הגדרה: תהי f פונקציה מוגדרת בקטע מהסוג . נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית (locally integrable) בקטע זה אם לכל f אינטגרבילית בקטע .
למשל, אם f רציפה למקוטעין אז היא אינטגרבילית מקומית.
הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב- נגדיר . אם הגבול קיים נאמר שהאינטגרל מתכנס, אחרת הוא מתבדר.
אינטגביליות מקומית מוגדרת באופן דומה עבור קטע מהצורה ואם f אינטגרבילית מקומית שם נגדיר .
עבור f מוגדרת בכל נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית מקומית בכל קטע סופי, ואם כן נגדיר עבור כרצוננו עבורו שני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.
דוגמאות
- . נחשב: ניתן גם לכתוב בקיצור: .
- , כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב).
- שאלה מארה"ב מלפני הרבה שנים: חצוצרה אינסופית תתקבל מסיבוב הגרף סביב ציר ה-x ב-. איך צובעים אותו מבפנים?
פתרון: לכאורה זה בלתי אפשרי, כי שטח הפנים של החצוצרה הוא , כלומר אין מספיק צבע בעולם. אך מכיוון שכמות הצבע נמדדת ביחידות נפח ולא שטח, ומכיוון שהנפח בתוך החצוצרה הוא , יספיקו לנו יחידות מעוקבות של צבע ואפילו ישאר לנו עודף.
שאלה: האם התכנסות האינטגרל גוררת ש- (בדומה לטורים)?
תשובה: לא. נגדיר פונקציה f שהגרף שלה הוא
אזיכלומר האינטגרל מתכנס, אבל לא קיים.